Справочник по математике
Элементы математического анализа Числовые последовательности
Пределы числовых последовательностей
Содержание
Предел числовой последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число a называют пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , …
если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство
| an – a | < ε .
Условие того, что число a является пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , … ,
записывают с помощью обозначения
и произносят так: «Предел an при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».
То же самое соотношение можно записать следующим образом:
an → a при 
.
Словами это произносится так: «an стремится к a при n , стремящемся к бесконечности».
ЗАМЕЧАНИЕ. Если для последовательности
a1 , a2 , … an , …
найдется такое число a , что an → a при , то эта последовательность ограничена.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что последовательность
a1 , a2 , … an , …
стремится к бесконечности, если для любого положительного числа C найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство
| an| > C .
Условие того, что числовая последовательность
a1 , a2 , … an , … ,
стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения
или с помощью обозначения
при .
ПРИМЕР 1. Для любого числа k > 0 справедливо равенство
ПРИМЕР 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство
ПРИМЕР 3. Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо равенство
ПРИМЕР 4. Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство
ПРИМЕР 5 . Последовательность
– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,
заданная с помощью формулы общего члена
an = (– 1)n ,
предела не имеет.
Свойства пределов числовых последовательностей
Рассмотрим две последовательности
a1 , a2 , … an , … , и b1 , b2 , … bn , … .
Если при существуют такие числа a и b , что
и 
,
то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем
| Предел суммы числовых последовательностей |
  |
| Предел разности числовых последовательностей |
  |
| Предел произведения числовых последовательностей |
  |
Если, кроме того, выполнено условие
то при существует предел дроби
причем
| Предел дроби |
|
|
Для любой непрерывной функции f (x) справедливо равенство
| Предел сложной функции |
|
|
Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Рассмотрим геометрическую прогрессию
b1 , b2 , … bn , … ,
знаменатель которой равен q .
Для суммы первых n членов геометрической прогрессии
Sn = b1 + b2 + … + bn , n = 1, 2, 3, …
Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение
S = b1 + b2 + … + bn + … ,
то будет справедлива формула
В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель q удовлетворяет неравенству
| q | < 1 ,
поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем
    |
Итак,
Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к 
, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа 
.
Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.
ПРИМЕР 6. Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:
  |
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби и сокращая дробь, получаем
Используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 3, находим
ОТВЕТ. 
ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби:
Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
ОТВЕТ. 
В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа
.
ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:
Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:
Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
ОТВЕТ. 
ПРИМЕР 9. Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
ОТВЕТ. 
ПРИМЕР 10. Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство
,
получаем
Итак,
ОТВЕТ. 1 .
Число e. Второй замечательный предел
Рассмотрим последовательность
 |
(1) |
В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой e.
Таким образом, справедливо равенство
 |
(2) |
причем расчеты показывают, что число
e = 2,718281828459045…
и является иррациональным и трансцендентным числом.
Число e играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции
y = e x,
которую называют «экспонента».
Число e также является пределом последовательности
|
e = |
(3) |
что позволяет вычислять число e с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.
ЗАМЕЧАНИЕ. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа 
, называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.
Близкие по тематике разделы сайта
С материалами, связанными с пределами последовательностей, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»