Справочник по математикеинтервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производнойЭлементы математического анализаинтервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производной Производная функции

 

Исследование поведения функций с помощью производной

Содержание

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной Интервалы возрастания и убывания функции
достаточные условия возрастания функции достаточные условия убывания функции знак производной Достаточные условия для возрастания и убывания функции
экстремум функции максимум функции минимум функции Экстремумы (максимумы и минимумы) функции
экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма «Подозрительные» на наличие экстремума точки функции. Теорема Ферма
экстремум функции максимум функции минимум функции достаточные условия существования экстремума Достаточные условия для существования экстремума функции
пример исследования поведения функции с помощью производной Пример исследования поведения функции
 

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма достаточное условие существования экстремума пример исследования поведения функции с помощью производной

Интервалы возрастания и убывания функции

Для того, чтобы найти интервалы, на которых функция возрастает или убывает, часто используется метод, основанный на анализе знаков производной рассматриваемой функции. Суть этого метода состоит в следующем.

Если на интервале   (a, b)   функция  y = f (x)   строго возрастает и в каждой точке   x0   интервала имеет производную, то, как показано на рисунке 1, а также на рисунке 2,

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной

Рис.1

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной

Рис.2

угол   α   наклона касательной к графику функции будет острым, откуда вытекает неравенство:

f ' (x0) = tg α > 0

Если же на интервале   (a, b)   функция  y = f (x)   строго убывает и в каждой точке   x0   интервала имеет производную, то, как показано на рисунках 3 и 4,

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной

Рис.3

интервал возрастания функции интервал убывания функции знак производной

Рис.4

угол   α   наклона касательной к графику функции будет тупым, откуда вытекает неравенство:

f ' (x0) = tg α < 0

Достаточные условия для возрастания и убывания функции

В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики, сформулированы достаточные условия для возрастания и убывания функции.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1.

а). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ' (x)   существует и удовлетворяет неравенству

f ' (x) > 0 ,

то функция   f (x)   строго возрастает на интервале   (a, b) .

б). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ' (x)   существует и удовлетворяет неравенству

достаточные условия возрастания функции достаточные условия убывания функции знак производной

то функция   f (x)   возрастает (не убывает) на интервале   (a, b) .

в). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ' (x)   существует и удовлетворяет неравенству

f ' (x) < 0 ,

то функция   f (x)   строго убывает на интервале   (a, b) .

г). Если в каждой точке   x   интервала   (a, b)   производная   f ' (x)   существует и удовлетворяет неравенству

достаточные условия возрастания функции достаточные условия убывания функции знак производной

то функция   f (x)   убывает (не возрастает) на интервале   (a, b) .

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Точку   x0   называют точкой максимума функции   f (x) ,   если существует интервал   (a, b) ,   такой, что   a < x0b ,    для точек   x   которого выполнено неравенство

экстремум функции максимум функции минимум функции.

Таким образом, если   x0   – точка максимума функции   f (x) ,   то в интервале   (a, b)   значение функции   f (x0)   больше всех остальных значений функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Точку   x0   называют точкой минимума функции   f (x) ,   если существует интервал   (a, b) ,   такой, что   a < x0 < b ,   для точек   x   которого выполнено неравенство

экстремум функции максимум функции минимум функции.

Другими словами, если   x0   – точка минимума функции   f (x) ,   то в интервале   (a, b)   значение функции   f (x0)   меньше всех остальных значений функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в точках экстремума называют экстремумами функции.

«Подозрительные» на наличие экстремума точки функции.
Теорема Ферма

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Стационарной точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю.

ОПЕРЕДЕЛЕНИЕ 5. Критической точкой функции называют такую точку, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, если точка   x0   является критической точкой функции, то точка   x0   либо является стационарной точкой функции, либо производная функции в точке   x0   не существует.

ТЕОРЕМА ФЕРМА. Если точка   x0   является точкой экстремума функции   f (x) ,   то точка   x0   является критической точкой функции   f (x) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если в точке   x0   у функции   y = f (x)   не существует производная, то точка   x0   является критической точкой по определению. Докажем, что если в точке   x0   у функции   y = f (x)   существует производная, то точка   x0   является стационарной, то есть   f ' (x0) = 0 .

Предположим сначала, что точка   x0   является точкой максимума функции   y = f (x)  (рис. 5).

экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма

Рис.5

Поскольку   x0   – точка максимума, то для любой точки   x1  такой, что   x1x0 ,   выполнено неравенство   f (x1) < f (x0) ,   поэтому

экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма.

Точно так же, для любой точки   x2   такой, что   x2 > x0 ,   выполнено неравенство   f (x2) < f (x0) ,   поэтому

экстремум функции максимум функции минимум функции стационарная точка критическая точка теорема Ферма.

Таким образом, в случае, когда точка   x0   является точкой максимума функции   y = f (x),   выполнено равенство   f ' (x0) = 0 .   Касательная к графику функции   y = f (x)   в точке   A= (x0;  f (x0))   параллельна оси   Ox.

Совершенно аналогично доказывается, что и в случае, когда точка   x0   является точкой минимума функции   y = f (x),   выполнено равенство   f ' (x0) = 0 .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Из утверждения 2 следует, что точки экстремумов функции (точки максимумов и точки минимумов) нужно искать лишь среди критических точек функции, так как в других (некритических) точках экстремумов быть не может. По этой причине критические точки функции часто называют точками, подозрительными на экстремум.

Достаточные условия для существования экстремума функции

В следующем утверждении, доказательство которого выходит за рамки школьного курса математики и в нашем справочнике не приводится, сформулированы достаточные условия для экстремума функции.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Рассмотрим функцию   f (x) ,   непрерывную в интервале   (a, b),   содержащем точку   x0 ,   производная которой существует в каждой точке этого интервала, кроме, быть может, самой точки   x0 .

а). Если для точек экстремум функции максимум функции минимум функции достаточное условие существования экстремумавыполнено условие:

f ' (x) > 0   при   x < x0   и   f ' (x) < 0   при   x > x,

то точка   x0   является точкой максимума функции   f (x)   (рис. 6).

экстремум функции максимум функции минимум функции достаточные условия существования экстремума

Рис.6

б). Если для точек экстремум функции максимум функции минимум функции достаточное условие существования экстремумавыполнено условие:

f ' (x) < 0   при   x < x0   и   f ' (x) > 0   при   x > x,

то точка   x0   является точкой минимума функции   f (x)   (рис. 7).

экстремум функции максимум функции минимум функции достаточные условия существования экстремума

Рис.7

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Условия а) и б) утверждения 3 часто формулируют так: «Если при переходе через точку   x0   производная функции меняет знак с   «+»   на   «–» ,   то точка   x0   является точкой максимума функции. Если при переходе через точку   x0   производная функции меняет знак с   «–»   на   «+» ,   то точка   x0   является точкой минимума функции».

Пример исследования поведения функции

ПРИМЕР. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции

y = | x3 + 3x2 | (1)

РЕШЕНИЕ. Исследуем сначала на возрастание, убывание и экстремумы функцию

y1 = x3 + 3x2 (2)

и построим ее график. Для этого представим формулу (2) в виде

y1 = x2 (x + 3)

и заметим, что

а)   y1 = 0   при   x = 0   и   x = – 3 ,

б)   y1 > 0   при   x > – 3 ;   y1 < 0   при   x < – 3 .

Теперь вычислим производную функции (2):

пример исследования поведения функции с помощью производной (3)

и разложим на множители правую часть формулы (3):

пример исследования поведения функции с помощью производной (4)

На рисунке 8 при помощи метода интервалов изобразим на числовой оси знаки производной (4)

пример исследования поведения функции с помощью производной

Рис.8

Поскольку решением неравенства

3x (x + 2) > 0

является множество

пример исследования поведения функции с помощью производной, (5)

то в соответствии с утверждением 1 функция   y1   возрастает на каждом из интервалов пример исследования поведения функции с помощью производнойи пример исследования поведения функции с помощью производной.

С другой стороны, поскольку решением неравенства

3x (x + 2) < 0

является интервал

(– 2, 0), (6)

то в соответствии с утверждением 1 функция   y1   убывает на интервале   (– 2, 0) .

Так как решениями уравнения

3x (x + 2) = 0

являются точки

x = – 2;   x = 0; (7)

то эти точки являются стационарными точками функции   y1 .

Поскольку при переходе через точку   x = – 2   производная функции   y1  меняет знак с   «+»   на   «–»   (рис. 8), то в соответствии с утверждением 3 точка   x = – 2   является точкой максимума функции   y1 ,   при этом

y1 (– 2) = 4 .

При переходе через точку  x = 0  производная функции   y1   меняет знак с   «–»   на   «+»   (рис. 8), поэтому в соответствии с утверждением 3 точка   x = 0   является точкой минимума функции   y1,   при этом

y1 (0) = 0 .

Заметим, что при анализе поведения функции по знакам ее производной, удобно использовать следующую диаграмму, на которой стрелками указаны интервалы возрастания и убывания функции (рис. 9).

пример исследования поведения функции с помощью производной

Рис.9

Теперь мы можем построить график функции   y1   (рис. 10).

пример исследования поведения функции с помощью производной

Рис.10

Перейдем к построению графика функции   y = x3 + 3x2 | .

В силу определения модуля, справедливо равенство

пример исследования поведения функции с помощью производной

Из этого равенства вытекает, что, если мы симметрично отразим относительно оси Ox часть графика функции   y1 = x3 + 3x2   (рис. 10), лежащую в нижней полуплоскости, оставив без изменения часть этого графика, лежащую в верхней полуплоскости, то мы получим график функции   y = x3 + 3x2 |   (рис.11) .

пример исследования поведения функции с помощью производной

Рис.11

В точке   x = – 3   производная функции   y = x3 + 3x2 |   не существует. Во всех остальных точках числовой оси производная функции   y = x3 + 3x2 |   существует.

Точки   x = – 3   и   x = 0  являются точками минимума, причем   ( – 3) = (0) = 0 .

Точка   x = – 2   является точкой максимума, причем   ( – 2) = 4 .

Функция   y = x3 + 3x2 |   возрастает на каждом из интервалов   (– 3, – 2)   и пример исследования поведения функции с помощью производной.

Функция   y = x3 + 3x2 |   убывает на каждом из интервалов пример исследования поведения функции с помощью производной и   (– 2, 0).

Близкие по тематике разделы сайта

С материалами, связанными с дифференцированием функций и применением производных к исследованию поведения функций, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

Исследование функций с помощью производных и примеры построения графиков функций можно посмотреть в учебных пособиях:

на странице  «Учебные материалы по математическому анализу для студентов МФТИ (1 курс, 1 семестр)».

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика