Справочник по математикеЭлементы математического анализа Интегралы

Определенный интеграл. Теорема Ньютона - Лейбница

Содержание

	Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции
	Производная от определенного интеграла по верхнему пределу
	Теорема Ньютона - Лейбница
	Примеры решения задач

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат   Oty ,   ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать   Ot ,   а не   Ox   (рис. 1).

Рис.1

Пусть   y = f (t)   – непрерывная на отрезке   [a, b]  функция, принимающая только положительные значения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Фигуру, ограниченную графиком функции   y = f (t)   сверху, отрезком   [a, b]   снизу, а справа и слева отрезками прямых   t = a   и   t = b   (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Рис.2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции   f (t)   в пределах от   a   до   b   и обозначают

(1)

Формула (1) читается так: «Интеграл от   a   до   b   от функции   f (t)   по   dt»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. В формуле (1) функцию   f (t)   называют подынтегральной функцией, переменную   t   называют переменной интегрирования, отрезок   [a, b]  называют отрезком интегрирования, число   b   называют верхним пределом интегрирования, а число   a   – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Если обозначить   S (x)   площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых   t = a   и   t = x   (рис. 3),

Рис.3

то будет справедлива формула

(2)

ТЕОРЕМА 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

Другими словами, справедлива формула

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из формулы (2) следует, что

(3)

где через  Δx   обозначено приращение аргумента   x   (рис. 4)

Рис.4

Из формул (3) и (2) получаем, что

(4)

где через  ΔS  обозначено приращение функции   S (x),   соответствующее приращению аргумента   Δx   (рис. 5)

Рис.5

Если ввести обозначения

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

(5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx  и высотой   m,   и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием  Δx   и высотой   M.

Из неравенства (5) следует, что

откуда, переходя к пределу при  Δx → 0,   получаем

В силу непрерывности функции   y = f (t)   выполнено равенство

По определению производной функции   S (x)   имеем

(6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

СЛЕДСТВИЕ 1. Функция   S (x)   является первообразной подынтегральной функции   f (x)  .

Теорема Ньютона - Лейбница

ТЕОРЕМА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА. Если   F (x)   – любая первообразная функции   f (x),   то справедливо равенство

(7)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку   S (x)   и   F (x)   – две первообразных функции   f (x),   то существует такое число   c,  что выполнено равенство

Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

(9)

Подставив в формулу (9) значение   x =  a,  получаем равенство

(10)

Заметим, что

(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой   t = a,   равна   0 .

Из формул (10) и (11) следует, что

c = – F (a) ,

и формула (9) принимает вид

,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования   t ,   так и с любой другой переменной интегрирования, например,   x :

ЗАМЕЧАНИЕ 4.Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций   f (x),   но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y = e ^{– x},     y = 0,     x = 0,     x = ln 3.

РЕШЕНИЕ. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

Рис.6

Найдем площадь этой криволинейной трапеции:

ОТВЕТ.

ЗАДАЧА 2. График функции   y = f (x)   изображен на рисунке 7.

Рис.7

Вычислить интеграл

(13)

РЕШЕНИЕ. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции   y = f (x),   ограниченной снизу осью абсцисс   Ox   и ограниченной с боков отрезками прямых   x = 2   и   x = 9.   Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна   9,   а площадь трапеции равна   20.   Таким образом, интеграл (13) равен   29.

ОТВЕТ.   29.

ЗАДАЧА 3. Вычислить определенный интеграл

(14)

РЕШЕНИЕ. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

ОТВЕТ.

Близкие по тематике разделы сайта

С более подробным и расширенным изложением материала «Интегральное исчисление функций одной переменной» можно ознакомиться в учебно-методическом пособии: «Интегральное исчисление функций одной переменной».

Способы вычисления неопределенных интегралов можно посмотреть также в пособиях

• «Неопределенный интеграл. Простейшие приемы интегрирования»,
• «Интегрирование рациональных дробей»,
• «Интегрирование иррациональных функций»,
• «Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и гиперболические функции»

на странице  «Учебные материалы по математическому анализу для студентов МФТИ (1 курс, 2 семестр)».