Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций

Содержание

	Правила вычисления производных
	Таблица производных часто встречающихся функций
	Таблица производных сложных функций

правила вычисления производных производная суммы производная разности производная произведения производная частного (дроби) производная сложной функции таблица производных

Правила вычисления производных

Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

ПРАВИЛО 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

(c f (x))' = c f ' (x) ,

где c – любое число.

Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

ПРАВИЛО 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

ПРАВИЛО 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

ПРАВИЛО 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x),

Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

ПРАВИЛО 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

правила вычисления производных производная частного (дроби)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рассмотрим функции f (x) и g (x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

f (g (x))

При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.

ПРАВИЛО 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

[ f (g (x))]^' = f ' (g (x)) g' (x)

Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .

Таблица производных часто встречающихся функций

В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Производная от постоянной функции

Функция:

y = c ,

где c – любое число

Формула для производной:

y' = 0

Производная степенной функции

Функция:

y = x^c ,

где c – любое число

Формула для производной:

y' = c x^{c – 1}

Производная от экспоненты (показательной функции с основанием e)

Функция:

y = e^x

Формула для производной:

y' = e^x

Производная от показательной функции с основанием a

Функция:

y = a^x

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

y' = a^x ln a

Производная от натурального логарифма

Функция:

y = ln x , x > 0

Формула для производной:

, x > 0

Производная от логарифма по основанию a

Функция:

y = log _a x , x > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

, x > 0

Производная синуса

Функция:

y = sin x

Формула для производной:

y' = cos x

Производная косинуса

Функция:

y = cos x

Формула для производной:

y' = – sin x

Производная тангенса

Функция:

y = tg x ,

где

производная тангенса

Формула для производной:

производная тангенса

Производная котангенса

Функция:

y = ctg x ,

где

Формула для производной:

производная котангенса ,

производная котангенса

Производная арксинуса

Функция:

y = arcsin x , производная арксинуса

Формула для производной:

Производная арккосинуса

Функция:

y = arccos x , производная арккосинуса

Формула для производной:

Производная арктангенса

Функция:

y = arctg x

Формула для производной:

Производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg x

Формула для производной:

Таблица производных сложных функций

В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

В отдельных строках (с голубым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f (x) = kx + b , где k и b – любые числа, производная сложной функции .

Функция:

y = (kx + b)^c ,

где c – любое число.

Формула для производной:

y' = kc (kx + b)^{c – 1} ,

Функция:

y = ( f (x))^c ,

где c – любое число.

Формула для производной:

производная сложной функции производная степени

Функция:

y = e^{kx + b}

Формула для производной:

y = ke^{kx + b}

Функция:

y = e^{f (x)}

Формула для производной:

производная сложной функции производная экспоненты

Функция:

y = a^{kx + b}

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции

Функция:

y = a^{f (x)}

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

Функция:

y = ln (kx + b) , kx + b > 0

Формула для производной:

производная сложной функции производная показательной функции , kx + b > 0

Функция:

y = ln ( f (x)) , f (x) > 0

Формула для производной:

производная сложной функции производная натурального логарифма , f (x) > 0

Функция:

y = log _a (kx + b) , kx + b > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

, kx + b > 0

Функция:

y = log _a ( f (x)) , f (x) > 0

где a – любое положительное число, не равное 1

Формула для производной:

производная сложной функции производная логарифма

, f (x) > 0

Функция:

y = sin (kx + b)

Формула для производной:

y' = k cos (kx + b)

Функция:

y = sin ( f (x))

Формула для производной:

Функция:

y = cos (kx + b)

Формула для производной:

y' = – k sin (kx + b)

Функция:

y = cos ( f (x))

Формула для производной:

производная сложной функции производная косинуса

Функция:

y = tg (kx + b),

где производная сложной функции производная тангенса

Формула для производной:

Функция:

y = tg ( f (x)),

где производная сложной функции производная тангенса

Формула для производной:

Функция:

y = ctg (kx + b),

где производная сложной функции производная котангенса

Формула для производной:

Функция:

y = ctg ( f (x)),

где производная сложной функции производная котангенса

Формула для производной:

Функция:

y = arcsin (kx + b), производная сложной функции производная арксинуса

Формула для производной:

Функция:

y = arcsin ( f (x)), производная сложной функции производная арксинуса

Формула для производной:

Функция:

y = arccos (kx + b), производная сложной функции производная арккосинуса

Формула для производной:

Функция:

y = arccos ( f (x)), производная сложной функции производная арккосинуса

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккосинуса

Функция:

y = arctg (kx + b)

Формула для производной:

производная сложной функции производная арктангенса

Функция:

y = arctg ( f (x))

Формула для производной:

Функция:

y = arcctg (kx + b)

Формула для производной:

производная сложной функции производная арккотангенса

Функция:

y = arcctg ( f (x))

Формула для производной:

Близкие по тематике разделы сайта

С материалами, связанными с дифференцированием функций и применением производных к исследованию поведения функций, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

Исследование функций с помощью производных и примеры построения графиков функций можно посмотреть в учебных пособиях:

на странице «Учебные материалы по математическому анализу для студентов МФТИ (1 курс, 1 семестр)».

Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций

Содержание

Правила вычисления производных

Таблица производных часто встречающихся функций

Таблица производных сложных функций

Близкие по тематике разделы сайта

Справочник по математике для школьников

Элементы математического анализа

Учебные пособия для школьников

Демоверсии ЕГЭ