На этой странице нашего сайта размещены учебные пособия по модернизированному курсу уравнений математической физики для студентов МФТИ.
В отличие от классического курса уравнений математической физики в модернизированном курсе УМФ, читаемом для студентов ФОПФ и ФПМИ МФТИ, рассматриваются обобщенные краевые задачи для замыкания оператора Лапласа, начально-краевые задачи с самосопряженными операторами в гильбертовых пространствах, а также интегральные уравнения с самосопряженными интегральными операторами в гильбертовых пространствах. Большое внимание уделяется поиску обобщенных решений уравнений математической физики, что требует достаточно глубокого владения аппаратом обобщенных функций.
Каждое из учебно-методических пособий содержит теоретические сведения и примеры решения типовых задач по изучаемому разделу уравнений математической физики. Практически все разобранные в учебно-методических пособиях задачи ранее предлагались для решения студентам ФОПФ и ФПМИ МФТИ в заданиях для самостоятельной работы, при сдаче зачетов и на письменных экзаменационных контрольных работах. В справочной форме приводится необходимая для решения задач теория.
Мы надеемся, что эти учебные материалы будут полезными не только студентам МФТИ, осваивающим курс уравнений математической физики, но и студентам других ВУЗов, изучаюшим продвинутые курсы уравнений математической физики.
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Обобщенные краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в пространстве
Пособие посвящено решению обобщенных краевых задач для замыкания оператора Лапласа в шаре, в половине шаре и в четверти шара.
Содержание
- Постановка обобщенных задач Дирихле и Неймана для замыкания оператора Лапласа.
- Общий вид гармонических функций в шаре.
- Пример решения обобщенной задачи Дирихле в шаре.
- Пример решения обобщенной краевой задачи в четверти шара.
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Интегральные операторы с конечномерным множеством значений. Решение интегральных уравнений
Пособие посвящено решению интегральных уравнений, в которых интегральные операторы имеют с конечномерное множество значений, а также поиску спектра и резольвенты для таких операторов.
Содержание
- Ядро интегрального оператора.
- Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора.
- Примеры решения интегральных уравнений с интегральными операторами, множество значений которых конечномерное. Поиск характеристических чисел и собственных функций.
- Регулярные значения линейного оператора. Резольвентное множество. Резольвента.
- Спектр линейного оператора. Точечный спектр. Непрерывный спектр. Остаточный спектр.
- Пример поиска спектра и резольвенты для интегрального оператора с конечномерным множеством значений.
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Самосопряженные интегральные операторы. Решение интегральных уравнений
Пособие посвящено решению интегральных уравнений с самосопряженными интегральными операторами.
Содержание
- Компактность и непрерывность интегрального оператора.
- Симметричность интегрального оператора.
- Самосопряженность интегрального оператора.
- Теорема Гильберта-Шмидта.
- Спектр компактного оператора.
- Спектр самосопряженного оператора.
- Примеры решения интегральных уравнений с самосопряженными интегральными операторами. Поиск спектра самосопряженных интегральных операторов.
Перейти к учебному пособию «Самосопряженные интегральные операторы. Решение интегральных уравнений»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Оператор Штурма-Лиувилля
Пособие посвящено методам решения типовых задач, связанных со свойствами оператора Штурма-Лиувилля.
Содержание
- Оператор Штурма-Лиувилля.
- Задача Штурма-Лиувилля.
- Интегральное ядро оператора Штурма-Лиувилля.
- Построение интегрального ядра оператора Штурма-Лиувилля
- Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.
- Пример построения оператора, обратного к оператору Штурма-Лиувилля.
- Пример построения ортогонального базиса из собственных векторов оператора Штурма-Лиувилля. Спектральное разложение оператора Штурма-Лиувилля
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
«Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в круге
Пособие посвящено изучению свойств функций Бесселя, поиску собственных функций оператора Лапласа в круге с однородными граничными условиями и методам решения начально-краевых задач для замыкания оператора Лапласа в круге.
Содержание
- Формулы Грина.
- Уравнение Бесселя.
- Приведенная форма уравнения Бесселя.
- Функции Бесселя
- Нули функций Бесселя.
- Пример решения начально-краевой задачи для звмыкания оператора Лапласа в круге (симметричность, отрицательная определенность, поиск собственных значений и собственных функций оператора Лапласа, спектральное разложение замыкания оператора Лапласа, решение типовой начально-краевой задачи методом Фурье).
Перейти к учебному пособию «Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в круге»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в секторе
Пособие посвящено поиску собственных функций оператора Лапласа в секторе с однородными граничными условиями и методам решения начально-краевых задач для замыкания оператора Лапласа в секторе. Рассмотрены симметричность, отрицательная определенность, собственные значения и собственные функции оператора Лапласа в секторе с однородными граничными условиями, спектральное разложение замыкания оператора Лапласа, решение типовой начально-краевой задачи методом Фурье
Перейти к учебному пособию «Начально-краевые задачи для замыкания оператора Лапласа в секторе»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Классическое решение волнового уравнения
Пособие посвящено поиску классических решений задачи Коши для одномерного волнового уравнения (уравнения колебания струны) и для однородного волнового уравнения с начальными условиями специального вида, позволяющими свести задачу к одномерному случаю.
Содержание
- Постановка задачи Коши для волнового уравнения в классическом случае.
- Общее решение однородного одномерного волнового уравнения (с выводом).
- Формула Даламбера (с выводом).
- Формула Дюамеля (с выводом).
- Решение задачи Коши для многомерного однородного волнового уравнения в случае, когда в начальные данные вектор x входит только в виде скалярного произведения (l,x), где l - фиксированный вектор.
- Решение задачи Коши для трехмерного однородного волнового уравнения в случае, когда начальные данные являются сферически симметричными функциями.
- Пример решения задачи Коши для трехмерного неоднородного волнового уравнения в случае, когда в правую часть уравнения входят собственные функции оператора Лапласа, а начальные условия являются сферически симметричными функциями.
Перейти к учебному пособию «Классическое решение волнового уравнения»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Пространство обобщенных функций S'(Rm)
В пособии вводится пространство основных функций Шварца S(Rm) и пространство обобщенных функций S'(Rm). Рассматривается операция умножения обобщенных функций на бесконечно дифференцируемые функции медленного роста и операция предельного перехода в пространстве S'(Rm).
Содержание
- Мультииндексы.
- Пространство основных функций Шварца S(Rm).
- Пространство обобщенных функций S'(Rm).
- Функции медленного роста.
- Регулярные и сингулярные функционалы. Дельта-функция.
- Умножение обобщенных функций на бесконечно дифференцируемые функции медленного роста.
- Функция
- Предельный переход в пространстве S'(Rm).
- Формулы Сохоцкого.
Перейти к учебному пособию «Пространство обобщенных функций S'(Rm)»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Дифференцирование обобщенных функций
Пособие посвящено решению типовых задач, связанных с дифференцированием обобщенных функций.
Перейти к учебному пособию «Дифференцирование обобщенных функций»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Решение простейших линейных однородных уравнений в пространстве S'(R)
Пособие посвящено решению типовых задач, связанных с поиском общих решений линейных уравнений вида
P(x)f(x)=0,
где P(x) – заданный многочлен, а f(x)– неизвестная обобщенная функция из пространства S'(R).
Перейти к учебному пособию «Решение простейших линейных однородных уравнений в пространстве S'(R)»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Решение простейших линейных неоднородных уравнений в пространстве S'(R)
Пособие посвящено решению типовых задач, связанных с поиском общих решений простейших линейных неоднородных уравнений в пространстве S'(R).
Перейти к учебному пособию «Решение простейших линейных неоднородных уравнений в пространстве S'(R)»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Преобразование Фурье обобщенных функций
Пособие посвящено решению типовых примеров и задач, связанных с преобразованием Фурье обобщенных функций.
Содержание
- Определение преобразования Фурье обобщенных функций.
- Определение обратного преобразования Фурье обобщенных функций
- Свойства преобразования Фурье обобщенных функций
- Примеры вычисления преобразования Фурье обобщенных функций в одномерном случае
- Вычисление преобразования Фурье регулярного функционала вида при
- Примеры вычисления преобразования Фурье в S'(R3)
- Примеры вычисления преобразования Фурье в S'(Rm)
Перейти к учебному пособию «Преобразование Фурье обобщенных функций»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Линейные замены в аргументе обобщенной функции
Пособие посвящено решению задач, связанных с линейными заменами переменных в аргументе обобщенной функции.
Перейти к учебному пособию «Линейные замены в аргументе обобщенной функции»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
О замене переменной в аргументе дельта-функции
Пособие посвящено решению задач, связанных с заменой переменной в аргументе дельта-функции.
Перейти к учебному пособию «О замене переменной в аргументе дельта-функции»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Функция Грина линейного дифференциального оператора в одномерном случае
Пособие посвящено решению задач, связанных с поиском функций Грина для линейных дифференциальных операторов в одномерном случае.
Перейти к учебному пособию «Функция Грина линейного дифференциального оператора в одномерном случае»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Функция Грина линейного дифференциального оператора в многомерном случае
Пособие посвящено решению задач, связанных с поиском функций Грина для линейных дифференциальных операторов в многомерном случае.
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Свертка обобщенных функций
Пособие посвящено решению задач, связанных с вычислением сверток обобщенных функций.
Содержание
- Определение свертки обобщенных функций.
- Свойства сверток обобщенных функций
- Примеры вычисления сверток обобщенных функций
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Обобщенная задача Коши для одномерного волнового уравнения
Пособие посвящено вычислению функции Грина одномерного оператора Даламбера и решению обобщенных задач Коши в одномерном случае.
Содержание
- Постановка обобщенной задачи Коши для одномерного волнового уравнения.
- Вычисление функции Грина одномерного оператора Даламбера.
- Свойства решений обобщенных задач Коши для одномерных волновых уравнений.
- Примеры решения обобщенных задач Коши для одномерных волновых уравнений.
Перейти к учебному пособию «Обобщенная задача Коши для одномерного волнового уравнения»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Обобщенная задача Коши для трехмерного волнового уравнения
Пособие посвящено вычислению функции Грина трехмерного оператора Даламбера и решению обобщенных задач Коши в трехмерном случае.
Содержание
- Постановка обобщенной задачи Коши для трехмерного волнового уравнения.
- Вычисление функции Грина трехмерного оператора Даламбера.
- Свойства решений обобщенных задач Коши для трехмерных волновых уравнений.
- Примеры решения обобщенных задач Коши для трехмерных волновых уравнений.
Перейти к учебному пособию «Обобщенная задача Коши для трехмерного волнового уравнения»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Обобщенные решения уравнений Пуассона и Гельмгольца
Пособие посвящено вычислению функций Грина операторов Гельмгольца и Лапласа и поиску обобщенных решений уравнений Пуассона и Гельмгольца в трехмерном случае.
Содержание
- Вычисление функций Грина для операторов Гельмгольца и Лапласа в пространстве S'(R3).
- Свойства обобщенных решений уравнений Пуассона и Гельмгольца в пространстве S'(R3). Объемный потенциал.
- Поиск обобщенных решений уравнений Пуассона и Гельмгольца в пространстве S'(R3).
Перейти к учебному пособию «Обобщенные решения уравнений Пуассона и Гельмгольца»
Самарова С.С.
Учебное пособие для студентов МФТИ по математике
Обобщенная задача Коши для уравнения теплопроводности
Пособие посвящено вычислению функции Грина оператора теплопроводности и решению обобщенных задач Коши для уравнения теплопроводности.
Содержание
- Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности.
- Вычисление функции Грина оператора теплопроводности.
- Пример решения обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Перейти к учебному пособию «Обобщенная задача Коши для уравнения теплопроводности»