Справочник по математикевыпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточные условия точки перегибаЭлементы математического анализавыпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточные условия точки перегиба Производная функции

 

Исследование функции на выпуклость вверх и выпуклость вниз с помощью второй производной

Содержание

выпуклые вверх функции Выпуклые вверх функции
выпуклые вниз функции Выпуклые вниз функции
вторая производная функции Вторая производная функции
достаточные условия выпуклости выпуклости вверх и выпуклости вниз Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции
точки перегиба Точки перегиба
необходимое условие точки перегиба Необходимые условия для существования точки перегиба
достаточные условия точки перегиба Достаточные условия для существования точки перегиба
 

выпуклые вверх функции выпуклые вниз функции вторая производная достаточные условия выпуклости точка перегиба необходимое условие точки перегиба достаточные условия точки перегиба

Выпуклые вверх функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вверх на интервале   (a, b),  если для любых двух точек выпуклые вверх функции таких, что   x1 < x2 ,   график функции   y = f (x)   расположен выше отрезка, соединяющего точки   A1 = (x1;  f (x1))   и   A2 = (x2;  f (x2)) .

Функция, график которой изображен на рисунке 1, выпукла вверх на интервале   (a, b) .

выпуклые вверх функции

Рис.1

ПРИМЕР 1. Примером функции, выпуклой вверх на выпуклые вверх функции, является функция   y = – x2   (рис. 2).

выпуклые вверх функции

Рис.2

Выпуклые вниз функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функцию   y = f (x)   называют выпуклой вниз на интервале   (a, b),   если для любых двух точек выпуклые вниз функции таких, что   x1 < x2 ,   график функции   y = f (x)   расположен ниже отрезка, соединяющего точки   A1 = (x1;  f (x1))   и   A2 = (x2;  f (x2)) .

Функция, график которой изображен на рисунке 3, выпукла вниз на интервале   (a, b) .

выпуклые вниз функции

Рис.3

ПРИМЕР 2. Примером функции, выпуклой вниз на выпуклые вниз функции, является функция   y = x2   (рис. 4).

выпуклые вниз функции

Рис.4

Вторая производная функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если у функции   y = f (x)   существует производная в некоторой точке   x0 ,   то эту производную часто называют первой производной или производной первого порядка функции   y = f (x)   в точке   x0 .

Пусть у функции   y = f (x)   существует производная во всех точках вторая производная функции. Тогда, вычисляя в каждой точке вторая производная функциипроизводную   f ' (x),   мы получим функцию   y = f ' (x).   Если у функции   y = f ' (x)   существует производная в некоторой точке   x0   интервала   (a, b),   то эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции   y = f (x)   в точке   x0 .

Для производной второго порядка   y = f (x)   используются обозначения:

вторая производная функции

Например,

вторая производная функции

Точно так же, как это было сделано при определении второй производной функции   f (x),   можно определить и производные более высоких порядков: третью производную, четвертую производную и т.д. (конечно же, при условии, что они существуют).

Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции

При исследовании направления выпуклости функции (выпуклость вверх или выпуклость вниз) важную роль играет вторая производная этой функции.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех достаточные условия выпуклости вверх выпуклости внизвыполнено условие

f '' (x) > 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вниз на интервале   (a, b).

УТВЕРЖДНИЕ 2. Если функция   f (x)   имеет на интервале   (a, b)   вторую производную, причем для всех достаточные условия выпуклости вверх выпуклости внизвыполнено условие

f '' (x) < 0 ,

то функция   f (x)   выпукла вверх на интервале   (a, b).

Доказательства утверждений 1 и 2 выходят за рамки школьного курса математики и здесь не приводятся.

ПРИМЕР 3. Функция   y = ln x   на интервале достаточные условия выпуклости вверх выпуклости внизудовлетворяет условию

достаточные условия выпуклости вверх выпуклости вниз

В силу утверждения 2 отсюда следует, что функция   y = ln x   выпукла вверх (рис. 5) на всей своей области определения достаточные условия выпуклости вверх выпуклости вниз.

достаточные условия выпуклости вверх

Рис.5

ПРИМЕР 4. Функция   y = e x   на интервале достаточные условия выпуклости вверх выпуклости внизудовлетворяет условию

достаточные условия выпуклости вверх выпуклости вниз

и, в силу утверждения 1, функция   y = e x   выпукла вниз (рис. 6) на всей своей области определения достаточные условия выпуклости вверх выпуклости вниз.

достаточные условия выпуклости вниз

Рис.6

Точки перегиба

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x0 .   Говорят, что при переходе через точку   x0   функция   f (x)   меняет направление выпуклости, если на одном из интервалов

(ax0)   и   (x0b)

функция выпукла вверх, а на другом – выпукла вниз.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x0 , а у графика функции   в точке   (x0;  f (x0))   существует касательная. Если функция   f (x)   при переходе через точку   x0   меняет направление выпуклости, то точку   x0   называют точкой перегиба функции   f (x.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 . Если   x0   – точка перегиба функции   y = f (x),   то график функции   y = f (x)   при переходе через точку   x0   переходит с одной стороны от касательной в точке   (x0;  f (x0))   на другую сторону от касательной, то есть «перегибается» через касательную.

ПРИМЕР 5. Рассмотрим функцию   y = x3,   график которой изображен на рисунке 7.

точка перегиба

Рис.7

Поскольку

y (0) = 0,   y' (0) = 0,

то прямая   y = 0   (ось абсцисс   Ox )   является касательной к графику функции   y = x3   в точке   (0; 0).

Кроме того,

точка перегиба

Поэтому   y" > 0   при   x > 0   и   y" < 0   при   x < 0 .   Таким образом, функция   y = x3   выпукла вверх при   x < 0   и выпукла вниз при   x > 0 ,   и точка   x = 0   является точкой перегиба графика функции   y = x3.   График функции   y = x3   при переходе через точку   (0; 0)   переходит из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость, то есть «перегибается» через касательную   y = 0 .

Необходимые условия для существования точки перегиба

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Если точка   x0   является точкой перегиба графика функции   f (x),   то в точке   x0   либо вторая производная   f '' (x) = 0 ,   либо   f '' (x)   не существует.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Условия существования точки перегиба, сформулированные в утверждении 3, являются необходимыми, но не являются достаточными.

Действительно, рассмотрим функцию   y = x4,   график которой изображен на рисунке 8.

точки перегиба

Рис.8

Вычисляя вторую производную этой функции

необходимое условие точки перегиба

замечаем, что   y '' (0) = 0 ,   однако точка   x = 0   не является точкой перегиба графика функции   y = x4,   так как функция   y = x4   выпукла вниз, как при   x < 0 ,   так и при   x > 0 .

Достаточные условия для существования точки перегиба

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Пусть функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (a, b) ,   содержащем точку   x0 , имеет первую производную в каждой точке интервала   (a, b)   и имеет вторую производную в каждой точке интервала   (a, b)   за исключением, быть может, самой точки   x0 .

Если для точек достаточные условия точки перегибавыполнено условие:

f '' (x) > 0   при   x < x0   и   f '' (x) < 0   при   x > x0 ,

либо выполнено условие:

f '' (x) < 0   при   x < x0   и   f '' (x) > 0   при   x > x,

то точка   x0   является точкой перегиба графика функции   f (x).

Другими словами, точка   x0   является точкой перегиба графика функции   f (x),   если при переходе через точку   x0   вторая производная функции меняет свой знак.

ПРИМЕР 6. Найти интервалы, на которых функция

y (x) = x4 – 6x3 + 12x2

выпукла вверх, а также интервалы, на которых эта функция выпукла вниз. Определить точки перегиба.

РЕШЕНИЕ. Вычислим вторую производную функции:

y' (x) = 4x3 – 18x2 + 24x ,

y'' (x) = 12x2 – 36x + 24 =

=12(x2 – 3x + 2) = 12(x – 1) (x – 2) .

Отсюда вытекает, что вторая производная существует во всех точках достаточные условия точки перегиба и обращается в нуль в точках   x = 1   и   x = 2 . Воспользуемся методом интервалов и изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной   y" (x)

достаточные условия точки перегиба

Рис.9

При переходе через точку   x = 1   вторая производная функции   y" (x)   меняет знак с   «+»   на   «–» . Следовательно,   x = 1   – точка перегиба графика функции.

При переходе через точку   x = 2   вторая производная функции   y" (x)   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = 2   также является точкой перегиба графика функции.

При достаточные условия точки перегиба и при достаточные условия точки перегиба вторая производная функции   y" (x) > 0,   следовательно, функция   y (x)   выпукла вниз на этих интервалах.

При достаточные условия точки перегиба вторая производная функции   y" (x) < 0,   следовательно, функция   y (x)   выпукла вверх на интервале   (1, 2) .

Близкие по тематике разделы сайта

С материалами, связанными с дифференцированием функций и применением производных к исследованию поведения функций, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

Исследование функций с помощью производных и примеры построения графиков функций можно посмотреть в учебных пособиях:

на странице  «Учебные материалы по математическому анализу для студентов МФТИ (1 курс, 1 семестр)».

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика