Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами |
Алгебраические и трансцендентные числа |
Прежде, чем дать общую формулировку теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами, решим следующую задачу.
Задача. Найти все корни уравнения
2x3 + x2 – 5 x – 3 = 0,
являющиеся рациональными числами.
Решение. Предположим, что рассматриваемое уравнение имеет корень, являющийся рациональным числом. Тогда, поскольку каждое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби
,
где m – число целое, а n – число натуральное, то выполняется равенство:
Умножая это равенство на n3, получаем равенство:
2m3 + m2n – 5 m n2 – – 3n3 = 0. | (1) |
Теперь преобразуем равенство (1):
Отсюда вытекает, что число 2m3 нацело делится на число n . А из этого, в свою очередь, следует, что, поскольку числа m и n не имеют общих простых делителей, то число n является делителем числа 2 . Таким образом, число n равно 1 или 2 .
Теперь преобразуем равенство (1) по-другому:
Значит, число 3n3 нацело делится на число m . А из этого, в свою очередь, следует, что, так как числа m и n не имеют общих простых делителей, то число m является делителем числа 3. Таким образом, число m может быть равно: – 1, 1, – 3 или 3.
Далее, рассматривая все возможные комбинации чисел m и n , получаем, что дробь
может принимать только следующие значения:
Таким образом, если у исходного уравнения и есть рациональный корень, то искать его нужно среди полученных шести чисел. Других рациональных корней у исходного уравнения быть не может.
Подставляя поочередно каждое из этих чисел в исходное уравнение, получаем, что корнем уравнения является лишь число .
Оставляя читателю проверку того, что другие числа корнями исходного уравнения не являются, покажем, что число действительно является его корнем:
Ответ. Число является единственным рациональным корнем исходного уравнения.
Замечание. Для того, чтобы найти все остальные корни исходного уравнения, нужно, воспользовавшись теоремой Безу, разделить многочлен
2x3 + x2 – 5 x – 3
на двучлен
В результате деления получится квадратный трехчлен
2x2 – 2x – 2 ,
после чего остается лишь решить квадратное уравнение:
x2 – x – 1 = 0 .
Теорема. Если рациональное число (несократимая дробь)
,
где m – число целое, а n – число натуральное, является корнем многочлена k -ой степени
a0 xk + a1 x k –1 + a2 x k –2 +
+ … +
+ ak –1 x + ak ,
все коэффициенты
a0 , a1 , a2 , … , ak –1 , ak ,
которого являются целыми числами, то числитель дроби m является делителем коэффициента ak , а знаменатель дроби n является делителем коэффициента a0 .
Коэффициент a0 называют старшим коэффициентом многочлена, а коэффициент ak – свободным членом многочлена.
Определение. Действительное число называют действительным алгебраическим числом, если существует многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого это число является. Если же такой многочлен не существует, то указанное число называют действительным трансцендентным числом.
Замечание. Числа π и e – наиболее известные примеры действительных трансцендентных чисел.
Утверждение. Каждое рациональное число является алгебраическим числом.
Доказательство. Каждое рациональное число представимо в виде несократимой дроби
,
где m – число целое, а n – число натуральное. Но указанная дробь является корнем уравнения первой степени
nx – m = 0 ,
что и требовалось доказать.
Следствие. Каждое действительное трансцендентное число является иррациональным числом.
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |