Справочник по математике
Геометрия (Планиметрия) Углы
Углы, связанные с окружностью
Содержание
 |
Вписанные и центральные углы |
|
Теоремы о вписанных и центральных углах |
|
Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими |
|
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
Вписанные и центральные углы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами (рис. 1).
Рис. 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами (рис. 2).
Рис. 2
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Теоремы о вписанных и центральных углах
| Вписанные углы |
|
Теорема Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
|
|
Теорема Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
|
|
Теорема Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
|
|
Теорема Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
|
|
Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
|
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
|
Теорема Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
|
Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
| Угол, образованный пересекающимися хордами |
|
Теорема Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Формула
|
| Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга |
|
Теорема Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Формула
|
| Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания |
|
Теорема Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами
Формула
|
| Угол, образованный касательной и секущей |
|
Теорема Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Формула
|
| Угол, образованный двумя касательными к окружности |
|
Теорема Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
Формулы
|
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
ТЕОРЕМА 1. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 3).
Рис. 3
Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB. Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB, то справедливы равенства
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.
Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 4).
Рис. 4
В этом случае справедливы равенства
и теорема 1 в этом случае доказана.
Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 5).
Рис. 5
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1.
ТЕОРЕМА 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 6.
Рис. 6
Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 3. Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 7.
Рис. 7
Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 4. Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 8.
Рис. 8
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать
ТЕОРЕМА 5. Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 9.
Рис. 9
Нас интересует величина угла BED, образованного касательной AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE, а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB, в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 6. Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 10.
Рис. 10
Нас интересует величина угла BED, образованного касательными AB и CD. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство
α = π – γ .
Далее получаем
что и требовалось доказать.