Справочник по математике
Геометрия (Планиметрия) Углы
Теорема Фалеса
ТЕОРЕМА ФАЛЕСА. Через произвольные точки
A1, A2, … An–1, An,
лежащие на стороне AO угла AOB (рис.1), проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках
B1, B2, … Bn–1, Bn,
соответственно. Тогда справедливы равенства
Рис.1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала следующую лемму.
ЛЕММА. Через произвольную точку C, лежащую на стороне OA треугольника OAB, проведена прямая, параллельная прямой AB и пересекающая сторону OB в точке D (рис.2).
Рис.2
Тогда справедливо равенство
 |
(1) |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ. Опустим из точек A и B перпендикуляры AK и BL на прямую CD (рис.3). Заметим, что эти перпендикуляры равны, поскольку AKLB – прямоугольник.
Рис.3
Из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую OA (рис.4).
Рис.4
Из точки C опустим перпендикуляр CG на прямую OB (рис.5).
Рис.5
В соответствии с рисунком 4 площади треугольников OCD и ACD можно вычислить по формулам
Следовательно,
В соответствии с рисунком 5 площади треугольников OCD и BCD можно вычислить по формулам
Следовательно,
Кроме того, заметим, что площади треугольников ACD и BCD равны. Действительно, в соответствии с рисунком 3 справедливы формулы
Следовательно,
SΔ ACD = SΔ BCD ,
откуда получаем цепочку равенств
что и завершает доказательство леммы.
Воспользовавшись леммой, заметим (рис.1), что из равенства (1) вытекают равенства
откуда на основе свойств производных пропорций, заключаем, что справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы Фалеса.
A1, A2, … An–1, An,
лежащие на стороне AO угла AOB (рис.6) и удовлетворяющие условию
A1A2 = A2A3 = … = An–2 An–1 = An–1An
проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках
B1, B2, … Bn –1, Bn ,
соответственно, то справедливы равенства
B1B2 = B2B3 = … = Bn–2Bn–1 = Bn–1Bn
Рис.6