Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия) Четырехугольники

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Содержание

	Вписанные четырехугольники и их свойства
	Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.

Рис.1

ТЕОРЕМА 1. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Угол  ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC. Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC. Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC. Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.

Если рассмотреть углы BCD и BAD, то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

ТЕОРЕМА 2 (Обратная  к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Докажем теорему 2 методом «от противного».

С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A, B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D. Приведём это предположение к противоречию.

Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Рис.2

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E, и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180°. При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC. Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC, не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Теорема Птолемея

ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис.3).

Рис.3

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Рис.4

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(2)

Складывая равенства (1) и (2), получаем:

Теорема Птолемея доказана.