Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия) Площади

Площадь треугольника

Содержание

	Формулы для площади треугольника
	Вывод формул для площади произвольного треугольника
	Вывод формул для площади равностороннего (правильного) треугольника
	Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

Формулы для площади треугольника

Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

Вывод формул для площади произвольного треугольника

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а h_a – высота, опущенная на эту сторону.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Рис. 1

Достроив треугольник   ABC   до параллелограмма   ABDC   (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Рис. 2

Поскольку

h_a = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

ЗАМЕЧАНИЕ. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = h_actg C ,       y = h_actg B ,

то

a = x + y = h_actg C + h_actg B = h_a( ctg C + ctg B) .

Следовательно,

Поэтому

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

Следовательно,

Поэтому

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R² sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

Поэтому

a = 2R sin A ,     b = 2R sin B ,     c = 2R  sin C ,

В силу утверждения 5

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

УТВЕРЖДЕНИЕ 7.

1. Если a – сторона равностороннего треугольника, то его площадь

   

2. Если h – высота равностороннего треугольника, то его площадь

   

3. Если r – радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, то его площадь

   

4. Если R – радиус описанной около равностороннего треугольника окружности, то его площадь

   

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1. Рассмотрим рисунок 7.

   

   Рис. 7

   В силу утверждения 2

   

2. Рассмотрим рисунок 8.

   

   Рис. 8

   Поскольку

   

   то, в силу утверждения 1, справедлива формула

   

3. Рассмотрим рисунок 9.

   

   Рис. 9

   Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство

   h = 3r.

   Следовательно,

   

4. Рассмотрим рисунок 10.

   

   Рис. 10

   Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство

   

   Следовательно,

   

   Доказательство утверждения 7 завершено.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

УТВЕРЖДЕНИЕ 8.

1. Если a и b – катеты прямоугольного треугольника, то его площадь

   

2. Если a – катет прямоугольного треугольника, а φ – прилежащий к этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника

   

3. Если a – катет прямоугольного треугольника, а φ – противолежащий этому катету острый угол, то площадь прямоугольного треугольника

   

4. Если c – гипотенуза прямоугольного треугольника, а φ – острый угол, то площадь прямоугольного треугольника

   

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1. Рассмотрим рисунок 11.

   

   Рис. 11

   В силу утверждения 2

   

2. Рассмотрим рисунок 12.

   

   Рис. 12

   Поскольку

   b = a tg φ ,

   то

   

3. Рассмотрим рисунок 13.

   

   Рис. 13

   Поскольку

   b = a ctg φ ,

   то

   

4. Рассмотрим рисунок 14.

   

   Рис. 14

   Поскольку

   a = c cos φ ,     b = c sin φ ,

   то

   

   Доказательство утверждения 8 завершено.