Справочник по математике
Геометрия (Планиметрия) Окружность и круг
Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Содержание
 |
Отрезки и прямые, связанные с окружностью |
|
Свойства хорд и дуг окружности |
|
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих |
|
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих |
|
Теорема о бабочке |
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойства хорд и дуг окружности
| Свойство диаметра, перпендикулярного к хорде |
|
Свойство Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. |
| Свойство диаметра, проходящего через середину хорды |
|
Свойство Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. |
| Свойство равных хорд |
|
Свойство Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. |
| Свойство хорд, равноудаленных от центра окружности |
|
Свойство Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. |
| Свойство двух хорд разной длины |
|
Свойство Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. |
| Свойство равных дуг |
|
Свойство У равных дуг равны и хорды. |
| Свойство параллельных хорд |
|
Свойство Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
| Теорема о пересекающихся хордах |
|
Теорема Произведения длин отрезков, на которые каждая из хорд делится их точкой пересечения, равны:
|
| Теорема о касательных, проведённых к окружности из одной точки |
|
Теорема Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то справедливо равенство AB = AC |
| Теорема о касательной и секущей, проведённых к окружности из одной точки |
|
Теорема Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то справедливо равенство
|
| Теорема о двух секущих, проведённых из одной точки вне круга |
|
Теорема Если из одной точки вне круга проведены две секущие, то справедливо равенство:
|
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
ТЕОРЕМА 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Рис. 1
Тогда справедливо равенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
ТЕОРЕМА 2 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Рис. 2
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC, проходящей через точку касания B. Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC. Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC. Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
ТЕОРЕМА 3 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Рис. 3
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Рис. 4
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема о бабочке
ТЕОРЕМА О БАБОЧКЕ. Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Рис. 5
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B. Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG, получим
 |
(1) |
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG, получим
 |
(2) |
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Поэтому
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL, получим равенство
откуда вытекает равенство
x = y ,
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.