Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия) Треугольники

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Содержание

	Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
	Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
	Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Напомним определение биссектрисы угла.

Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

ТЕОРЕМА 1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Рис. 1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произвольную точку   D,   лежащую на биссектрисе угла   BAC,     и опустим из точки   D   перпендикуляры    DE   и   DF   на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники   ADF   и   ADE   равны, поскольку у них равны острые углы   DAF   и   DAE,   а гипотенуза   AD   – общая. Следовательно,

DF = DE,

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Рис. 2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произвольную точку   D,   лежащую внутри угла   BAC   и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки   D   перпендикуляры   DE   и   DF   на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники   ADF   и   ADE   равны, поскольку у них равны катеты   DF   и   DE,   а гипотенуза   AD   – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается сторон этого угла.

ТЕОРЕМА 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть точка   D   – центр окружности, вписанной в угол   BAC,   а точки   E   и   F   – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Рис.3

Прямоугольные треугольники   ADF   и   ADE   равны, поскольку у них равны катеты   DF   и   DE   (как радиусы окружности), а гипотенуза   AD   – общая. Следовательно

AF = AE,

что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Напомним определение биссектрисы треугольника.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

ТЕОРЕМА 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин   A   и   C   треугольника   ABC,   и обозначим точку их пересечения буквой   O   (рис. 4).

Рис. 4

Опустим из точки   O   перпендикуляры    OD,   OE   и   OF   на стороны треугольника. Поскольку точка   O   лежит на биссектрисе угла   BAC,   то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OE,

Поскольку точка   O   лежит на биссектрисе угла   ACB,   то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OF,

Следовательно, справедливо равенство:

OE = OF,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка   O   лежит на биссектрисе угла   ABC.   Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

Рис. 5

СЛЕДСТВИЕ. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

ТЕОРЕМА 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

Рис. 6

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из формулы

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

ТЕОРЕМА 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Рис. 7

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула

где

то в случае равнобедренного треугольника, когда

получаем

что и требовалось.

ТЕОРЕМА 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Рис. 8

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула

то в случае равностороннего треугольника, когда

b = a,

получаем

что и требовалось.

ЗАМЕЧАНИЕ. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

ТЕОРЕМА 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно,

СD = СF= r,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

ЗАМЕЧАНИЕ. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.