Свойства сторон и углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение. Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков – вершинами треугольника.

Свойство большей стороны треугольника:

Против большей стороны треугольника лежит больший угол

Свойство большего угла треугольника:

Против большего угла треугольника лежит большая сторона

Свойство меньшей стороны треугольника:

Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол

Свойство меньшего угла треугольника:

Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона

Неравенства трегольника:

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a < b + c

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

a > |b – c|

Свойство углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

Посмотреть доказательство

Свойство внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

δ = α + β .

Посмотреть доказательство

Свойство большего угла треугольника:

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

,

где α – больший угол треугольника.

Свойство меньшего угла треугольника:

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

,

где β – меньший угол треугольника.

Теорема косинусов:

a² = b ² + c ² – 2bc cos α ,

Посмотреть доказательство

Свойство меньшего угла треугольника:

,

где R – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство