Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия) Прямые и плоскости в пространстве

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Содержание

	Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
	Свойства перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямой, перпендикулярной к плоскости, называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала следующий случай.

Предположим, что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,  перпендикулярна к прямым  a  и   b, лежащим на плоскости  α  и проходящим через точку O. Докажем, что в этом случае прямая  p перпендикулярна любой другой прямой  c, лежащей на плоскости  α  и проходящей через точку  O.

С этой целью отметим на прямой  a  произвольную точку  A, а на прямой  b  произвольную точку  B  (рис. 1).

Рис.1

Проведем прямую  AB  и обозначим буквой  C  точку пересечения прямых  AB  и  c. Отметим на прямой  p  произвольную точку  P  и обозначим символом  P'  точку, расположенную на прямой   p  так, чтобы точка  O  оказалась серединой отрезка  PP'. Поскольку прямые OA  и OB   являются серединными перпендикулярами к отрезку  PP', то справедливы равенства

AP = AP',       BP = BP'

Из этих равенств, а также поскольку отрезок  AB  является общей стороной треугольников  APB  и  AP'B, заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам треугольники  APB  и  AP'B  равны. Следовательно,

Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что треугольник  PBС  равен треугольнику   P'BС   (BP = BP', , сторона   BС  - общая). Следовательно,

СP = СP',

откуда вытекает, что точка  С  лежит на серединном перпендикуляре к отрезку  PP'.

Таким образом, прямые   PO   и   c   перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.

Теперь перейдем к общему случаю.

Предположим, что что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,   перпендикулярна к прямым   a   и   b,   лежащим на плоскости   α .  Докажем, что в этом случае прямая   p   перпендикулярна любой другой прямой   c,   лежащей плоскости   α   (рис. 2).

Рис.2

С этой целью проведем через точку O прямые   a',   b'   и   c'   соответственно параллельные прямым   a,   b   и   c  .

По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым   a'   и   b',   проходящим через точку   O,   и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.

Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.

ЗАМЕЧАНИЕ. Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.

Так, например, на рисунке 1 точка   O   является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α .

Свойства перпендикуляра к плоскости

Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости и признака перпендикулярности плоскостей, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.