Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия) Пирамиды

Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Содержание

	Пирамиды. Теорема Эйлера для пирамид
	Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
	Тетраэдры. Правильные тетраэдры
	Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Пирамиды. Теорема Эйлера для пирамид

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

	Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник   A1A2 ... An ,   расположенный в этой плоскости, и точку   S ,   не лежащую в плоскости α . Пирамидой (n - угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку  S   со всеми точками многоугольника   A1A2 ... An   (рис. 1) . ЗАМЕЧАНИЕ 1. Напомним, что многоугольник   A1A2 ... An   состоит из замкнутой ломаной линии   A1A2 ... An   и ограниченной ею части плоскости. Рис.1
	Точку S называют вершиной пирамиды.
	Многоугольник   A1A2 ... An   называют основанием пирамиды.
	Точки   A1, A2, ... , An   называют вершинами основания пирамиды.
	Точки   A1 , A2 , ... , An , S   часто называют просто вершинами пирамиды.
	Расстояние от точки   S   до плоскости α называют высотой пирамиды.
	Отрезки   SA1 , SA2 , ... , SAn   называют боковыми ребрами пирамиды.
	Стороны многоугольника   A1A2 ... An   называют ребрами основания пирамиды.
	Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.
	Треугольники   SA1A2 , SA2A3 , ... , SAnA1   называют боковыми гранями пирамиды.
	Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.
	Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.
	Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА . Для любой пирамиды справедливо равенство:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что у n - угольной пирамиды   (n + 1)   вершина,   n   боковых граней,   1   основание,   n   ребер основания и   n   боковых ребер. Следовательно, у n - угольной пирамиды   (n + 1)   грань и   2n   ребер.

Поскольку

(n + 1) + (n + 1) – 2n = 2

то теорема Эйлера доказана.

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Правильной n - угольной пирамидой (правильной пирамидой)  называют такую n - угольную пирамиду, у которой основанием является правильный n - угольник   A₁A₂ ... A_n , а основанием перпендикуляра, опущенного из точки   S   на плоскость   α ,   является центр правильного n - угольника   A₁A₂ ... A_n   (рис 2).

Рис.2

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если центр основания   A₁A₂ ... A_n   правильной пирамиды   SA₁A₂ ... A_n   обозначить буквой   O ,  то длина отрезка   SO  будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок   SO   называют высотой пирамиды, опущенной из вершины   S .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины   S , называют апофемой.

Рис.3

На рисунке 3 отрезок   SB   – апофема грани   SA_nA_n-1   и отрезок   SC   – апофема грани   SA₂A₁.

ЗАМЕЧАНИЕ 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести   n   апофем.

СВОЙСТВА ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ:

	Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
	Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.
	У любой правильной пирамиды все апофемы равны.
	Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

УТВЕРЖДЕНИЕ. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду   SABC и пару ее противоположных ребер, например,   AC   и   BS.   Обозначим буквой   D   середину ребра   AC.   Поскольку отрезки   BD   и   SD   являются медианами в равнобедренных треугольниках   ABC   и   ASC,   то   BD   и   SD   перпендикулярны ребру   AC   (рис. 4).

Рис.4

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая   AC   перпендикулярна плоскости   BSD.   Следовательно, прямая   AC   перпендикулярна прямой   BS,   что и требовалось доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

Рис.5

ЗАДАЧА. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром   a .

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим правильный тетраэдр   SABC.   Пусть точка   O   – основание перпендикуляра, опущенного из вершины   S   на плоскость   ABC.   Поскольку   SABC   – правильная пирамида, то точка   O   является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника   ABC.   Следовательно,

где буквой   D   обозначена середина ребра   AC   (рис. 6).

Рис.6

Так как

,

то

.

По теореме Пифагора из треугольника   BSO  находим

ОТВЕТ.   

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды

Введем следующие обозначения

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды: