Справочник по математике
Геометрия (Стереометрия) Прямые и плоскости в пространстве
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Признаки параллельности двух плоскостей
Содержание
 |
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве |
|
Признаки параллельности двух плоскостей |
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве
Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.
Признаки параллельности двух плоскостей
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены плоскости α и β
Рис.1
Прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. Прямые c и d лежат в плоскости β и параллельны прямым a и b соответственно.
Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного».
Для этого предположим, что плоскости α и β не параллельны. Следовательно, плоскости α и β должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости α и β буквой l (рис.2) и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости.
Рис.2
Плоскость α проходит через прямую a, параллельную прямой c, и пересекает плоскость β по прямой l. Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость α проходит через прямую b, параллельную прямой d, и пересекает плоскость β по прямой l. Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые b и l параллельны. Таким образом, мы получили, что на плоскости α через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b, которые параллельны прямой l. Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости α и β пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.
ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 3, на котором изображены плоскости α и β.
Рис.3
На этом рисунке также изображены прямые a и b, которые лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости β. Требуется доказать, что плоскости α и β параллельны.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.