Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия) Прямые и плоскости в пространстве

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости

Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве представлены в таблице.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Предположим, что прямая   a   и плоскость   α   параллельны, а плоскость   β   проходит через прямую   a .Тогда возможны два случая:

1. Плоскость   β  параллельна плоскости   α (рис.1);
2. Плоскость   β   пересекает плоскость   α.   В этом случае прямая   b ,   которая является линией пересечения плоскостей   α   и   β ,   будет параллельна прямой   a   (рис.2).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим случай 2 и предположим противное.

Предположим, что прямые   a   и   b   пересекаются в некоторой точке   P (рис.3) .

Рис.3

Но тогда точка   P   оказывается точкой пересечения прямой   a   и плоскости   α ,   и мы получаем противоречие с тем, что прямая   a   и плоскость   α   параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая   a ,   не лежащая в плоскости   α ,   параллельна некоторой прямой   b,   лежащей в плоскости   α ,   то прямая   a   и плоскость   α  параллельны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем признак параллельности прямой и плоскости «от противного».

Предположим, что прямая   a   пересекает плоскость   α  в некоторой точке   P . Проведем плоскость   β   через параллельные прямые   a   и   b   (рис. 4).

Рис.4

Точка   P   лежит на прямой   a   и принадлежит плоскости   β.   Но по предположению точка   P   принадлежит и плоскости   α , следовательно точка   P   лежит на прямой   b ,   по которой пересекаются плоскости   α   и   β .   Однако прямые   a   и   b   параллельны по условию и не могут иметь общих точек.

Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.