Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Сферы и шары

Сфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

Шар, сфера и их части

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

Шар, сфера и их части

      Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

      Определение 1. Сферой с центром в точке   O   и радиусом   r   называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   равно   r   (рис. 1).

      Определение 2. Шаром с центром в точке   O   и радиусом   r   называют множество точек, расстояние от которых до точки   O   не превосходит   r   (рис. 1).

Рис.1

      Таким образом, сфера с центром в точке   O   и радиусом   r   является поверхностью шара с центром в точке   O   и радиусом   r.

      Замечание. Радиусом сферы (радиусом шара) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы (радиусом шара).

      Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

      Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями   (рис. 2).

Рис.2

      Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

      Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

      Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

      Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя.

      Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

      Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Рис.3

      Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

      Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента.

Рис.4

      По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Рис.5

      Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Рис.6

      Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента.

      Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы.

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

      В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

Фигура	Рисунок	Формула	Описание
Сфера		S = 4πr2, где r – радиус сферы.	Площадь сферы
Шар		где r – радиус шара.	Объем шара
Сферический пояс		S = 2πrh, где r – радиус сферы, h  – высота сферического пояса. Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !	Площадь сферического пояса
Шаровой слой		где r1 , r2 – радиусы оснований шарового слоя, h – высота шарового слоя.	Объем шарового слоя
Сферический сегмент		S = 2πrh, где r – радиус сферы, h – высота сферического сегмента.	Площадь сферического сегмента
Шаровой сегмент		где r – радиус шара, h – высота шарового сегмента.	Объем шарового сегмента
Шаровой сектор		где r – радиус шара, h – высота шарового сектора.	Объем шарового сектора

Сфера

Площадь сферы: S = 4πr2, где r – радиус сферы.

Шар

Объем шара: где r – радиус шара.

Сферический пояс

Площадь сферического пояса: S = 2πrh, где r – радиус сферы, h  – высота сферического пояса. Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Шаровой слой

Объем шарового слоя: где r1 , r2 – радиусы оснований шарового слоя, h – высота шарового слоя.

Сферический сегмент

Площадь сферического сегмента: S = 2πrh, где r – радиус сферы, h – высота сферического сегмента.

Шаровой сегмент

Объем шарового сегмента: где r – радиус шара, h – высота шарового сегмента.

Шаровой сектор

Объем шарового сектора: где r – радиус шара, h – высота шарового сектора.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.