Справочник по математикеАрифметика Проценты

Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки

Содержание

	Кредитное соглашение. Процентные деньги
	Годовая процентная ставка
	Схема простых процентов
	Схема сложных процентов
	Изменяющиеся (плавающие) процентные ставки
	Примеры решения задач
	Темп инфляции

Кредитное соглашение. Процентные деньги

С того момента, как на Земле появились деньги, появились и люди, которые стали давать их в долг, извлекая из этого прибыль.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Лицо, дающее деньги в долг, называют кредитором. Лицо, берущее деньги в долг, называют заёмщиком.

Предоставление денег в долг происходит в соответствии с кредитным соглашением и осуществляется в различных формах: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, получение векселя, приобретение облигаций и т.д.

При заключении кредитного соглашения кредитор и заемщик договариваются о размере кредита, времени и способе его погашения, а также об уровне вознаграждения кредитора.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Плату за предоставление денег в долг, т.е. разницу между деньгами, возвращаемыми заемщиком кредитору, и деньгами, данными кредитором заемщику в долг, называют процентными деньгами.

Будем использовать следующие обозначения:

Z   – сумма денег, данных кредитором заемщику в долг,

K   – сумма денег, возвращаемая заемщиком кредитору,

D   – процентные деньги.

По определению 2

Будем рассматривать лишь такие кредитные соглашения, когда долг вместе с процентными деньгами (сумма   K ) возвращается заемщиком кредитору одним платежом в конце срока, установленного кредитным соглашением.

Годовая процентная ставка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Годовой процентной ставкой называют отношение процентных денег к деньгам, данным кредитором заемщику в долг, при предоставлении ссуды сроком на 1 год.

Будем обозначать буквами   P   и   p   годовую процентную ставку, выраженную в процентах и долях соответственно.

По определению процентов

,

причем по определению годовой процентной ставки

(2)

СЛЕДСТВИЕ 1. Если известны значения   p   и   Z ,   то, переписывая формулу (2) в виде

D = pZ ,

и, воспользовавшись формулой (1), получаем соотношение для вычисления суммы   K :

K = Z + D = Z + pZ ,

из которого следует, что при предоставлении ссуды на срок в 1 год

СЛЕДСТВИЕ 2. Если известны значения   p   и   K ,   то из формулы (3) можно найти сумму   Z :

(4)

Схема простых процентов

Будем рассматривать случай, когда срок   t   возврата долга выражается в годах, например,

(года) ,       t = 2 (года),       t = 3,4 (года),  ...

Нашей целью является описание двух способов расчета сумм   K,   возвращаемых заемщиком кредитору (расчеты по схемам простых и сложных процентов на основе процентной ставки).

Отметим особо, что значения   p   и   Z   нам известны, а мы вычисляем суммы   K.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Расчет по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор за каждый год предоставленного кредита получает одни и те же процентные деньги, которые составляют   P   процентов от суммы долга   Z,   выплаченной заемщику.

Рассмотрим сначала случай, когда кредит с расчетом по схеме простых процентов предоставляется на целое число лет, и обозначим символами   K₁ , K₂ , ... , K_n   суммы, возвращаемые заемщиком кредитору (с учетом процентных денег) за пользование кредитом в течение   t = 1, 2, ... , n   лет соответственно.

В силу определения 4

K₁ = Z + pZ ,

K₂ = Z + 2pZ = K₁ + pZ ,

...

K_n = Z + npZ = K_{n – 1} + pZ ,

откуда вытекает

СЛЕДСТВИЕ 3. Суммы   K₁ , K₂ , ... , K_n ,   возвращаемые заемщиком кредитору (с учетом процентных денег) за пользование кредитом по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки в течение   t = 1, 2, ... , n   лет, определяются по формуле

и составляют арифметическую прогрессию с первым членом   Z (1 + p)   и разностью   pZ .

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда кредит с расчетом по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки предоставляется на произвольное (не обязательно целое) число лет   t   (в годах), и, обобщая соотношение (5), сформулируем следующее

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если кредитное соглашение предусматривает расчет по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки, то по прошествии   t   лет кредитор получает от заемщика сумму

а процентные деньги вычисляются по формуле

D (t) = Z (1 + pt) – Z = Zpt .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. При   t = n ,   т.е. в случае, когда кредит предоставляется на целое число лет, расчеты по формулам (5) и (6) совпадают.

Схема сложных процентов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Расчет по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор  за каждый год предоставленного кредита получает процентные деньги, которые составляют   P   процентов от всей накопленной к началу этого года суммы долга (с учетом процентных денег).

Поступая по аналогии с простыми процентами, рассмотрим сначала случай, когда кредит с расчетом по схеме сложных процентов предоставляется на целое число лет, и обозначим символами   K₁ , K₂ , ... , K_n   суммы, возвращаемые заемщиком кредитору за пользование кредитом в течение   t = 1, 2, ... , n   лет соответственно.

В силу определения 5

K₁ = Z (1 + p) ,

K₂ = Z (1 + p)² = K₁ (1 + p) ,

...

K_n = Z (1 + p)ⁿ = K_{n – 1} (1 + p) ,

откуда вытекает

СЛЕДСТВИЕ 4. Суммы   K₁ , K₂ , ... , K_n ,   возвращаемые заемщиком кредитору (с учетом процентных денег) за пользование кредитом по схеме сложных процентов с годовой процентной ставкой  в течение   t = 1, 2, ... , n   лет, определяются соотношением

и составляют геометрическую прогрессию с первым членом   Z (1 + p)   и знаменателем   (1 + p) .

Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда кредит с расчетом по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки предоставляется на произвольное (не обязательно целое) число лет   t   (в годах), и, обобщая соотношение (7), сформулируем следующее

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Если кредитное соглашение предусматривает расчет по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки, то, по прошествии   t   лет, кредитор получает от заемщика сумму

а процентные деньги вычисляются по формуле

D (t) = Z (1 + p)^t – Z .

Изменяющиеся (плавающие) процентные ставки

В следующих двух примерах кредит (ссуда) предоставляется на основе изменяющихся (плавающих) процентных ставок.

ПРИМЕР 1. Заемщик получил ссуду в   1000000   рублей, которую должен погасить одним платежом через   0,75   года. Расчет производится по схеме простых процентов, причем первые   0,25   года годовая процентная ставка равна   12% ,   а в оставшееся время годовая процентная ставка равна   16% .   Найти сумму, возвращаемую кредитору, и процентные деньги.

РЕШЕНИЕ. Поскольку при расчетах по схеме простых процентов на основе процентной ставки процентные деньги начисляются на сумму долга   Z   по формуле (6) , то

K (t) = Z (1 + p₁t₁ + p₂t₂) ,

где

p₁ = 0,12 ;   t₁ = 0,25 ;

p₂ = 0,16 ;   t₂ = 0,5 .

Таким образом,

,

D = K – Z = 1100000 – 1000000 = 100000 .

ОТВЕТ. Заемщик возвращает кредитору   1100000   рублей, процентные деньги равны   100000   рублей.

ПРИМЕР 2. Заемщик получил ссуду в   1000000   рублей, которую должен погасить одним платежом через   5   лет. Расчет производится по схеме сложных процентов, причем первые   2   года годовая процентная ставка равна   12% ,   а в оставшееся время годовая процентная ставка равна   16% .   Найти сумму, возвращаемую кредитору, и процентные деньги.

РЕШЕНИЕ. Поскольку при расчетах по схеме сложных процентов на основе процентной ставки процентные деньги за каждый год начисляются на всю накопленную к этому моменту сумму долга по формуле (8), то

,

где

p₁ = 0,12 ;   t₁ = 2 ;  

p₂ = 0,16 ;   t₂ = 3 .

Таким образом

K = 1000000(1 + 0,12)² (1 + 0,16)³ = 1957987,94 ;

D = K – Z = 1957987,94 – 1000000 = 957987,94 .

ОТВЕТ. Заемщик возвращает кредитору   1957987,94   рублей, процентные деньги равны   957987,94   рублей.

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. Предприниматель обратился в банк с просьбой о предоставлении ссуды в размере   1000000   рублей сроком на   1   год. Банк выделил ему эту ссуду с годовой процентной ставкой в   20% ,   при условии погашения ссуды одним платежом в конце срока. Какую сумму должен через год возвратить предприниматель банку?  Какие процентные деньги получит банк?

РЕШЕНИЕ. В задаче известны значения   Z   и   p ,   а найти нужно   K   и   D .   Поскольку

Z = 1000000 ;   p = 0,2 ;

а предприниматель возвращает банку сумму   K ,   равную

Z + 20%   от   Z ,

то есть

120%   от   Z ,

то

K = 1,2Z =1200000 ,

D = 200000 .

ОТВЕТ. Предприниматель возвращает банку   1200000   рублей, процентные деньги банка равняются   200000   рублей.

ЗАДАЧА 2. По истечении первого месяца цена товара увеличилась на   30% ,   а по истечении следующего месяца цена товара уменьшилась на   10% .   На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара за   2   месяца?

РЕШЕНИЕ. Обозначим первоначальную цену товара буквой   a .   По истечении первого месяца цена товара стала равной   1,3 a .   По условию задачи за второй месяц новая цена товара (база для вычисления процентов), равная   1,3 a ,   уменьшилась на   10%   и стала равной

,

ОТВЕТ. Первоначальная цена товара за   2   месяца увеличилась на   17% .

ЗАДАЧА 3. Цена товара увеличилась на   25% .   На сколько процентов нужно снизить цену товара, чтобы она стала первоначальной?

РЕШЕНИЕ. Обозначим первоначальную цену товара буквой   c .   После увеличения на   25%   новая цена товара стала равной   1,25 c .   Следовательно, для того, чтобы вернуться к первоначальному уровню   c ,   новая цена товара (база для вычисления процентов), должна уменьшиться на сумму   0,25 c .   Таким образом, мы должны определить, сколько процентов составляет число   0,25c   от числа   1,25c :

ОТВЕТ. Цену товара нужно снизить на   20% .

ЗАДАЧА 4. Банковский вклад, нетронутый в течение года, в конце этого года увеличивается на   10% .   На сколько процентов увеличится вклад, нетронутый в течение трех лет?

РЕШЕНИЕ. Обозначим первоначальную сумму вклада буквой   Z   и проведем расчет по схеме сложных процентов.  Используя формулу (8), находим

K (3) = Z (1 + 0,1)³ = 1,331 Z

Таким образом, денежная сумма   Z ,   нетронутая в течение трех лет, увеличивается на сумму   0,331 Z ;   то есть на   33,1% .

ОТВЕТ. Вклад увеличится на   33,1% .

Темп инфляции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Месячным темпом инфляции называют такое количество процентов, на которое возрастают цены товаров за месяц, по сравнению с предыдущим месяцем.

ЗАДАЧА 5. Месячный темп инфляции равен   5% .   На сколько процентов возрастают цены за год?

РЕШЕНИЕ. Инфляция является процессом, развивающимся по схеме сложных процентов.   Если обозначить цену товара в первый день года буквой   Z ,   то, используя формулу (8), находим цену товара через 12 месяцев:

K (12) = Z (1 + 0,05)¹² = 1,7959 Z

Следовательно, с начала года цена товара   Z   увеличилась на сумму   0,7959 Z ;   т.е. увеличилась на   79,59% .

ОТВЕТ. Цены вырастают за год на   79,59% .

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если бы мы для решения этой задачи вместо формулы (8) применили формулу (6), которая относится к расчету по схеме простых процентов, что является серьёзной ошибкой, то мы бы получили неверный ответ, свидетельствующий о том, что при месячном темпе инфляции в   5%   цены за год вырастают на   60% .

Близкие по тематике разделы сайта

Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».

Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».

Методы решения задач на смеси, сплавы и растворы, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на смеси, сплавы и растворы».

С методами, используемыми при решении задач на движение, можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».