Справочник по математике

Алгебра

Последовательности чисел

Арифметическая прогрессия

      Определение 1. Числовую последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

называют арифметической прогрессией, если справедливы равенства

a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ =
= … = a_n – a_{n – 1} =…

      Определение 2. Если последовательность чисел

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

является арифметической прогрессией, то число d, определенное формулой

d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ =
= a₄ – a₃ = … =
= a_n – a_{n – 1} =… ,

называют разностью этой арифметической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 вытекает, что для того, чтобы задать арифметическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член арифметической прогрессии a₁ и разность арифметической прогрессии   d.   Если числа a₁ и d известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

      По этой причине многие задачи на арифметическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел a₁ и d .

      Из формул (1) вытекает общая формула

позволяющая по любому номеру n вычислить член арифметической прогрессии a_n , зная первый член и разность прогрессии. Эта формула носит название формулы общего члена арифметической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством арифметической прогрессии. Это свойство формулируется так: - «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство арифметической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство

      Из формулы (2) также вытекают следующие соотношения:

a₁ + a_n = a₂ + a_{n – 1} =
= a₃ + a_{n – 2} = … ,

которые используются, в частности, при выводе формулы для суммы первых n членов арифметической прогрессии, и при решении различных примеров и задач.

      Если для суммы первых n членов арифметической прогрессии ввести обозначение

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n  ,      
n = 1, 2, 3, … ,

то будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

      С примерами решений различных задач по теме «Арифметическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.