Золотое отношение (золотое сечение)

Содержание

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииЗолотое отношение (золотое сечение)
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношенииПравильный пятиугольник и его связь с золотым отношением
Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Золотое отношение (золотое сечение)

Рассмотрим отрезок   AB   и точку   C ,   расположенную внутри него.

Электронный справочник по математике для школьников золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Говорят, что точка   C   делит отрезок   AB   в золотом отношении (золотом сечении), если длина отрезка   AB   так относится к длине отрезка   AC ,   как длина отрезка   AC   относится к длине отрезка   CB .   При этом самим золотым отношением (золотым сечением) называют отношение длины отрезка   AB   к длине отрезка   AC .

      Термин «золотое отношение» имеет ряд синонимов: золотое сечение, золотая пропорция, гармоническая пропорция, золотое число, деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Следуя исторической традиции, будем золотое отношение обозначать символом   φ .   Для того, чтобы найти значение   φ ,   введем для длин отрезков   AB   и   AC   обозначения:

|AB| = x,       |AC| = y .

      Тогда длина отрезка   CB   будет выражена формулой:

|CB| = x – y ,

причем числа   x   и   y   будут удовлетворять неравенствам:

x > 0,       y > 0,       x – y > 0.

      В случае, когда точка   C   делит отрезок   AB   в золотом отношении, числа   x   и   y   удовлетворяют уравнению:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

где

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Выведем уравнение для переменной   φ :

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Следовательно,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Поскольку   φ > 1 , то второй корень должен быть отброшен.

      Итак, золотое отношение

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

что и требовалось получить.

Правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением

Золотое отношение (золотое сечение) встречается в различных областях человеческой деятельности: в скульптуре, архитектуре, живописи, музыке и т.д.

Приведем пример использования золотого отношения в планиметрии. Для этого рассмотрим правильный пятиугольник   A1A2A3A4A5 ,   вписанный в окружность радиуса   R   с центром   O .

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Заметив, что длины всех диагоналей пятиугольника равны, обозначим длину стороны пятиугольника символом   y ,   а длину диагоналей символом   x .

Теперь рассмотрим треугольник   A1A3A5 .   Этот треугольник является равнобедренным треугольником с основанием   A1A5   и боковыми сторонами   A1A3   и   A3A5 ,   причем

  A1A5 = y,      
A
1A3 = A3A5 = x .

Кроме того,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Следовательно,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Теперь, воспользовавшись тем, что

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

применим для треугольника   A1A3A5   теорему косинусов:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Разделив это равенство на   y2,   и заметив, что

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

получим соотношение:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Если в этом соотношении ввести, для упрощения записи, переменную   d   по формуле

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение

то возникает уравнение:

d 3 – 2d 2 + 1 = 0.

Для того, чтобы решить это уравнение, разложим его левую часть на множители:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым  отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

В силу того, что

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое  число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

то первый и второй корни должны быть отброшены. Следовательно,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

т.е. является золотым отношением.

В результате мы получили, что, во-первых, отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне правильного пятиугольника равно золотому отношению, а, во-вторых, что для самого золотого отношения справедлива формула:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика золотое отношение золотое сечение правильный пятиугольник и его связь с золотым отношением золотая пропорция гармоническая пропорция золотое число деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.