Тригонометрические функции произвольного угла

Содержание

Справочник по математике для школьников тригонометрия тригонометрические функции произвольного угла определениеОпределение тригонометрических функций произвольного угла
Справочник по математике для школьников тригонометрия основное тригонометрическое тождество тригонометрический кругОсновное тригонометрическое тождество. Тригонометрический круг
Тригонометрические функции угла синус косинус тангенс котангенс основное тригонометрическое тождество тригонометрический круг числовая окружность

Определение тригонометрических функций произвольного угла

Рассмотрим окружность радиуса   R с центром в начале прямоугольной системой координат Oxy.

Тригонометрические функции угла синус косинус тангенс котангенс

Рис.1

Положительным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении движения против часовой стрелки (рис.1).

Тригонометрические функции угла синус косинус тангенс котангенс

Рис.2

Отрицательным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении, совпадающем с направлением движения часовой стрелки (рис. 2).

Если для координат точки   M0 , лежащей на окружности радиуса R с центром в начале координат O (рис. 3),

Тригонометрические функции угла синус косинус тангенс котангенс

Рис.3

ввести обозначение

M0 = ( x0 ; y0 ),

то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство:

x02 + y02 = R2,

и можно сформулировать следующее общее определение тригонометрических функций произвольного угла.

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом произвольного угла α называют числа, определяемые по формулам:

Тригонометрические функции угла синус косинус тангенс котангенс
Тригонометрические функции угла синус косинус тангенс котангенс

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Отметим следующее важное свойство тригонометрических функций синуса и косинуса произвольного угла:

Тригонометрические функции произвольного угла синус косинус тангенс котангенс
Тригонометрические функции синус косинус тангенс котангенс

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Определение тригонометрических функций произвольного угла является естественным обобщением определения тригонометрических функций острого угла, данного в разделе справочника "Тригонометрические функции острого угла".

Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический круг

Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Если для координат точки   M1 (рис. 4), лежащей на этой окружности,

Тригонометрические функции угла основное тригонометрическое тождество тригонометрический круг числовая окружность

Рис.4

ввести обозначение

M1 = ( x1 ; y1 ) ,

то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство

x12 + y12 = 1 ,

а синус, косинус, тангенс и котангенс угла α будут вычисляться по формулам

Тригонометрические функции угла основное тригонометрическое тождество тригонометрический круг числовая окружность
Тригонометрические функции угла основное тригонометрическое тождество тригонометрический круг числовая окружность

Из этих формул, в частности, вытекает основное тригонометрическое тождество:

sin2α + cos2α = 1 .

Таким образом, основное тригонометрическое тождество является теоремой Пифагора, сформулированной с помощью тригонометрических функций.

Окружность радиуса 1, изображенную на рисунке 4, называют тригонометрическим кругом или числовой окружностью.

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.