Справочник по математике
Тригонометрия
Тригонометрические функции кратных углов (вывод с помощью комплексных чисел)
Рассмотрим комплексное число
| z = cos α + i sin α , | (1) |
модуль которого равен 1, а аргумент равен α (см. раздел «Комплексные числа» нашего справочника). Если комплексное число (1) возвести в квадрат, то, с одной стороны,
| z 2 = cos 2α + i sin 2α , | (2) |
а, с другой стороны,
| z 2 = (cos α + i sin α) 2 = cos 2α + 2i cos α sin α – sin 2α , | (3) |
откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (2) и (3), мы получаем тригонометрические формулы «Косинус двойного угла» и «Синус двойного угла»:
cos 2α = cos 2α – sin 2α ,
sin 2α = 2cos α sin α .
Если же комплексное число (1) возвести в куб, то, с одной стороны,
| z 3 = cos 3α + i sin 3α , | (4) |
а, с другой стороны,
|
z 3 = (cos α + i sin α) 3 = cos 3α + 3cos 2α (i sin α) + 3cos α (i sin α)2 + (i sin α)3 = = cos 3 α – 3cos α sin2α + 3i cos2α sin α – i sin3α = cos 3 α – 3cos α sin2α + i (3cos2α sin α – sin3α). |
(5) |
Следовательно,
z 3 = cos 3 α – 3cos α sin2 α + i (3cos 2α sin α – sin3α) ,
откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (4) и (5), мы получаем соотношения
cos 3α = cos3α – 3cos α sin2 α = cos3α – 3cos α (1 – cos2α) = 4cos3α – 3cos α ,
sin 3α = 3cos2α sin α – sin3α =3(1 – sin2α) sin α – sin3α = 3sin α – 4sin3α .
Таким образом,
cos 3α = 4cos3α – 3cos α ,
sin 3α = 3sin α – 4sin3α ,
и вывод тригонометрических формул «Косинус тройного угла» и «Синус тройного угла» завершен.
Совершенно аналогично можно вывести формулы для cos nα и sin nα, где n – произвольное натуральное число.