Справочник по математикеТригонометрия

Тригонометрические функции произвольного угла

Содержание

	Определение тригонометрических функций произвольного угла
	Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический круг

Определение тригонометрических функций произвольного угла

Рассмотрим окружность радиуса   R с центром в начале прямоугольной системой координат Oxy.

Рис.1

Положительным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении движения против часовой стрелки (рис.1).

Рис.2

Отрицательным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении, совпадающем с направлением движения часовой стрелки (рис. 2).

Если для координат точки   M₀ , лежащей на окружности радиуса R с центром в начале координат O (рис. 3),

Рис.3

ввести обозначение

M₀ = ( x₀ ; y₀ ),

то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство:

x₀² + y₀² = R²,

и можно сформулировать следующее общее определение тригонометрических функций произвольного угла.

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом произвольного угла α называют числа, определяемые по формулам:

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Отметим следующее важное свойство тригонометрических функций синуса и косинуса произвольного угла:

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Определение тригонометрических функций произвольного угла является естественным обобщением определения тригонометрических функций острого угла, данного в разделе справочника "Тригонометрические функции острого угла".

Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический круг

Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Если для координат точки   M₁ (рис. 4), лежащей на этой окружности,

Рис.4

ввести обозначение

M₁ = ( x₁ ; y₁ ) ,

то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство

x₁² + y₁² = 1 ,

а синус, косинус, тангенс и котангенс угла α будут вычисляться по формулам

Из этих формул, в частности, вытекает основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1 .

Таким образом, основное тригонометрическое тождество является теоремой Пифагора, сформулированной с помощью тригонометрических функций.

Окружность радиуса 1, изображенную на рисунке 4, называют тригонометрическим кругом или числовой окружностью.