Тригонометрические функции кратных углов (вывод с помощью комплексных чисел)

Рассмотрим комплексное число

z = cos α + i sin α ,(1)

модуль которого равен 1, а аргумент равен α (см. раздел «Комплексные числа» нашего справочника). Если комплексное число (1) возвести в квадрат, то, с одной стороны,

z 2 = cos 2α + i sin 2α ,(2)

а, с другой стороны,

z 2 = (cos α + i sin α) 2 =
=
cos 2α +
+
2i cos α sin α –
sin 2α ,
(3)

откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (2) и (3), мы получаем тригонометрические формулы «Косинус двойного угла» и «Синус двойного угла»:

cos 2α = cos 2α – sin 2α ,

sin 2α = 2cos α sin α .

Если же комплексное число (1) возвести в куб, то, с одной стороны,

z 3 = cos 3α + i sin 3α ,(4)

а, с другой стороны,

z 3 = (cos α + i sin α) 3 =
= cos 3α +
+
3cos 2α (i sin α) +
+
3cos α (i sin α)2 +
+
(i sin α)3 =
= cos 3 α – 3cos α sin2α +
+
3i cos2α sin α –
i sin3α =
= cos 3 α – 3cos αsin2α +
+
i (3cos2α sin α – sin3α).
(5)

Следовательно,

z 3 = cos 3 α – 3cos α sin2 α +
+
i (3cos 2α sin α – sin3α) ,

откуда, приравнивая вещественные и мнимые части комплексных чисел (4) и (5), мы получаем соотношения

cos 3α =
=
cos3α – 3cos α sin2 α =
= cos3α –
3cos α (1 – cos2α) =
=
4cos3α – 3cos α ,

sin 3α =
=
3cos2α sin α – sin3α =
= 3(1 – sin2α) sin α –
sin3α =
=
3sin α – 4sin3α .

Таким образом,

cos 3α = 4cos3α – 3cos α ,

sin 3α = 3sin α – 4sin3α ,

и вывод тригонометрических формул «Косинус тройного угла» и «Синус тройного угла» завершен.

Совершенно аналогично можно вывести формулы для cos nα и sin nα, где n – произвольное натуральное число.

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.