Mосква, Северо-восток

Конус, вписанный в пирамиду

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конусаКонус, вписанный в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около конуса
отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамидыОтношение объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной пирамиды
Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды

Конус, вписанный в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около конуса

      Определение 1. Конусом, вписанным в пирамиду, называют такой конус, у которого основание вписано в основание пирамиды, а вершина совпадает с вершиной пирамиды (рис. 1).

      Определение 2. Если конус вписан в пирамиду, то пирамиду называют описанной около конуса.

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса

Рис.1

      Замечание. Высота конуса равна высоте пирамиды, описанной около него.

      Теорема 1. В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. В основание пирамиды можно вписать окружность;
  2. Основанием перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды, является центр вписанной в основание пирамиды окружности.

      Доказательство. Поскольку перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, проходит через центр основания конуса, то для пирамиды, описанной около конуса, справедливость обоих условий теоремы вытекает из определения конуса, вписанного в пирамиду.

      Теперь рассмотрим пирамиду   SA1A2 ... An ,   для которой выполнены условия 1 и 2 теоремы, и докажем, что в нее можно вписать конус.

      Пусть   O   – центр круга, вписанного в основание   A1A2 ... An   пирамиды. Поскольку отрезок SO перпендикулярен плоскости основания пирамиды, то, соединив все точки этого круга с вершиной пирамиды   S  , мы получим конус с осью  OS,  вписанный в пирамиду   SA1A2 ... An   (рис. 2).

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса

Рис.2

      Теорема доказана.

      Поскольку в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, то из доказанной теоремы 1 непосредственно вытекает

       Следствие 1. В любую правильную пирамиду можно вписать конус.

       Теорема 2. Если у пирамиды   SA1A2 ... An   основание   O   перпендикуляра, опущенного из вершины   S   на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника   A1A2 ... An ,   а все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания пирамиды, то в такую пирамиду можно вписать конус.

      Доказательство. Пусть все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом   φ ,   а высота пирамиды равна   h.   Рассмотрим, например, боковую грань   SA1A2 и проведем в ней высоту   SB(рис 3).

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса

Рис.3

      По теореме о трех перпендикулярах отрезок   OB   перпендикулярен ребру   A1A2.   Следовательно, угол   SBO   является линейным углом двугранного угла между боковой гранью   SA1A2   и плоскостью основания пирамиды и равен   φ .   Катет   OB   прямоугольного треугольника   SOB   выражается через высоту пирамиды   h   и угол   φ   по формуле

OB = h ctg φ .

      Поскольку отрезок   OB   перпендикулярен ребру   A1A2,   то точка   O   удалена от прямой   A1A2   на расстояние точка   O   удалена от прямой   A1A2   на расстояние   h ctg φ .  Рассуждая аналогичным образом, получаем, что точка   O   удалена на расстояние   h ctg φ   от всех сторон многоугольника   A1A2 ... An .   Таким образом, точка   O   является центром окружности, вписанной в многоугольник   A1A2 ... An .   Радиус этой окружности равен   h ctg φ .   В то же время точка   O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды. По теореме 1 в такую пирамиду можно вписать конус.

       Доказательство теоремы 2 завершено.

Отношение объемов конуса и описанной около него правильной
n - угольной пирамиды

       Задача. Найти отношение объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной пирамиды .

       Решение. Поскольку и объем конуса, и объем пирамиды вычисляются по формуле

отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды,

а высота конуса равна высоте описанной около него пирамиды , то для объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной пирамиды справедливо равенство

отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды.

      Поскольку площадь правильного n - угольника выражается через радиус   r   вписанной в этот многоугольник окружности по формуле

отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды

то справедливо равенство

отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды

      Ответ.отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды

      Следствие 1. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной треугольной пирамиды равно

отношение объемов конуса и описанной около него правильной треугольной пирамиды

      Следствие 2. Отношение объема конуса к объему описанного около него правильного тетраэдра равно

отношение объемов конуса и описанного около него правильного тетраэдра

      Следствие 3. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной четырехугольной пирамиды равно

отношение объемов конуса и описанной около него правильной четырехугольной пирамиды

      Следствие 4. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной шестиугольной пирамиды равно

отношение объемов конуса и описанной около него правильной шестиугольной пирамиды

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамидыподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамидыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования