e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки школьников к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамидыТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамидыГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамидыЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамидыПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды Геометрия (Стереометрия)

Конус, вписанный в пирамиду

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса Конус, вписанный в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около конуса
отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды Отношение объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной пирамиды

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды

Конус, вписанный в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около конуса

      Определение 1. Конусом, вписанным в пирамиду, называют такой конус, у которого основание вписано в основание пирамиды, а вершина совпадает с вершиной пирамиды (рис. 1).

      Определение 2. Если конус вписан в пирамиду, то пирамиду называют описанной около конуса.

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса

Рис.1

      Замечание. Высота конуса равна высоте пирамиды, описанной около него.

      Теорема 1. В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. В основание пирамиды можно вписать окружность;
  2. Основанием перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды, является центр вписанной в основание пирамиды окружности.

      Доказательство. Поскольку перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, проходит через центр основания конуса, то для пирамиды, описанной около конуса, справедливость обоих условий теоремы вытекает из определения конуса, вписанного в пирамиду.

      Теперь рассмотрим пирамиду   SA1A2 ... An , для которой выполнены условия 1 и 2 теоремы, и докажем, что в нее можно вписать конус.

      Пусть   O  – центр круга, вписанного в основание   A1A2 ... An пирамиды. Поскольку отрезок SO перпендикулярен плоскости основания пирамиды, то, соединив все точки этого круга с вершиной пирамиды   S , мы получим конус с осью  OS,   вписанный в пирамиду     SA1A2 ... An (рис. 2).

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса

Рис.2

      Теорема доказана.

      Поскольку в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, то из доказанной теоремы 1 непосредственно вытекает

       Следствие 1. В любую правильную пирамиду можно вписать конус.

       Теорема 2. Если у пирамиды   SA1A1A2 ... An   основание   O  перпендикуляра, опущенного из вершины   S   на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника   A1A2 ... An , а все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания пирамиды, то в такую пирамиду можно вписать конус.

       Доказательство. Пусть все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом   φ ,  а высота пирамиды равна   h.   Рассмотрим, например, боковую грань   SA1A2 и проведем в ней высоту   SB (рис 3).

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса

Рис.3

       По теореме о трех перпендикулярах отрезок   OB перпендикулярен ребру  A1A2. Следовательно, угол   SBO является линейным углом двугранного угла между боковой гранью  SA1A2 и плоскостью основания пирамиды и равен φ . Катет   OB   прямоугольного треугольника   SOB   выражается через высоту пирамиды   h   и угол   φ   по формуле

OB = h ctg φ .

       Поскольку отрезок   OB перпендикулярен ребру  A1A2, то точка  O  удалена от прямой   A1A2 на расстояние   h ctg φ .    Рассуждая аналогичным образом, получаем, что точка   O  удалена на расстояние   h ctg φ   от всех сторон многоугольника   A1A2 ... An . Таким образом, точка   O  является центром окружности, вписанной в многоугольник A1A2 ... An . Радиус этой окружности равен   h ctg φ .  В то же время точка   O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды. По теореме 1 в такую пирамиду можно вписать конус.

       Доказательство теоремы 2 завершено.

Отношение объемов конуса и описанной около него правильной
n - угольной пирамиды

       Задача. Найти отношение объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной пирамиды .

       Решение. Поскольку и объем конуса, и объем пирамиды вычисляются по формуле

отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды,

а высота конуса равна высоте описанной около него пирамиды , то для объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной пирамиды справедливо равенство

отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды.

      Поскольку площадь правильного n - угольника выражается через радиус   r   вписанной в этот многоугольник окружности по формуле

отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды

то справедливо равенство

отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды

       Ответ.    отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды

       Следствие 1. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной треугольной пирамиды равно

отношение объемов конуса и описанной около него правильной треугольной пирамиды

       Следствие 2. Отношение объема конуса к объему описанного около него правильного тетраэдра равно

отношение объемов конуса и описанного около него правильного тетраэдра

       Следствие 3. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной четырехугольной пирамиды равно

отношение объемов конуса и описанной около него правильной четырехугольной пирамиды

       Следствие 4. Отношение объема конуса к объему описанной около него правильной шестиугольной пирамиды равно

отношение объемов конуса и описанной около него правильной шестиугольной пирамиды

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Конус вписанный в пирамиду свойства пирамиды описанной около конуса отношение объемов конуса и описанной около него правильной пирамиды индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования