e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамидыЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамидыТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамидыГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды Геометрия (Стереометрия)

Пирамида, вписанная в конус

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус Пирамида, вписанная в конус. Свойства пирамиды, вписанной в конус
отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды Отношение объемов конуса и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды

Пирамида, вписанная в конус. Свойства пирамиды, вписанной в конус

      Определение 1. Пирамидой, вписанной в конус, называют такую пирамиду, у которой основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 1).

      Определение 2. Если пирамида вписана в конус, то конус называют описанным около пирамиды.

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус

Рис.1

      Замечание. Если пирамида вписана в конус, ее боковые ребра равны и являются образующими конуса, вершина пирамиды лежит на оси конуса, а высота пирамиды равна высоте конуса.

      Теорема 1. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. Около основания пирамиды можно описать окружность;
  2. Основанием перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды, является центр описанной около основания пирамиды окружности.

      Доказательство. Поскольку перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, проходит через центр основания конуса, то для пирамиды, вписанной в конус, справедливость обоих условий теоремы вытекает из определения конуса, описанного около пирамиды.

      Теперь рассмотрим пирамиду   SA1A2 ... An , для которой выполнены условия 1 и 2 теоремы, и докажем, что около нее можно описать конус.

      Пусть   O  – центр круга, окружность которого описана около основания   A1A2 ... An пирамиды. Поскольку отрезок SO перпендикулярен плоскости основания пирамиды, то, соединив все точки этого круга с вершиной пирамиды   S , мы получим конус с осью  OS,   описанный около пирамиды     SA1A2 ... An (рис. 2).

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус

Рис.2

      Теорема доказана.

      Поскольку около любого правильного многоугольника можно описать окружность, то из доказанной теоремы 1 непосредственно вытекает

       Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать конус.

       Теорема 2. Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны.

       Доказательство. Действительно, если пирамида вписана в конус, то ее боковые ребра являюся образующими конуса, и, значит, равны между собой.

       Рассмотрим теперь пирамиду   SA1A2 ... An  высоты   h ,  у которой все боковые ребра

 SA1 = SA2 = ... = SAn = l ,

и докажем, что около ее основания можно описать окружность. Пусть точка  O  – основание перпендикуляра, опущенного из вершины   S  на плоскость основания пирамиды (рис. 3).

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус

Рис.3

       Все прямоугольные треугольники   SOA1 , SOA2 , ... , SOAn   равны, поскольку у них равны гипотенузы SA1 , SA2 , ... , SAn , а катет   SO является общим. Следовательно,

 OA1 = OA2 = ... = OAn .

        Отсюда вытекает, что многоугольник  A1A2 ... An вписан в окружность с центром в точке  O .   Радиус этой окружности можно найти по теореме Пифагора 

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус.

       По теореме 1 около такой пирамиды можно описать конус.

       Доказательство теоремы 2 завершено.

Отношение объемов конуса и вписанной в него правильной
n - угольной пирамиды

       Задача. Найти отношение объемов конуса и вписанной в него правильной n - угольной пирамиды .

       Решение. Поскольку и объем конуса, и объем пирамиды вычисляются по формуле

отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды,

а высота конуса равна высоте описанной около него пирамиды , то для объемов конуса и описанной около него правильной n - угольной пирамиды справедливо равенство

отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды.

      Поскольку площадь правильного n - угольника выражается через радиус   R   описанной около этого многоугольника окружности по формуле

отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды

то справедливо равенство

отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды

       Ответ.    отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды

       Следствие 2. Отношение объема правильной треугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

отношение объемов правильной треугольной пирамиды и описанного около нее конуса

       Следствие 3. Отношение объема правильного тетраэдра к объему конуса, описанного около данного тетраэдра, равно

отношение объемов правильного тетраэдра и описанного около него конуса

       Следствие 4. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

отношение объемов правильной четырехугольной пирамиды и описанного около нее конуса

       Следствие 5. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды к объему конуса, описанного около данной пирамиды, равно

отношение объемов правильной шестиугольной пирамиды и описанного около нее конуса

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Конус описанный около пирамиды свойства пирамиды вписанной в конус отношение объемов конуса и вписанной в него правильной пирамиды индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


      Яндекс цитирования