Mосква, Северо-восток

Квадратные уравнения

Справочник по математике для школьников алгебра решение неполных квадратных уравненийРешение неполных квадратных уравнений
Справочник по математике для школьников алгебра выделение полного квадратаВыделение полного квадрата
Справочник по математике для школьников алгебра дискриминантДискриминант
Справочник по математике для школьников алгебра разложение квадратного трехчлена на множителиРазложение квадратного трехчлена на множители
Справочник по математике для школьников алгебра формула для корней квадратного уравненияФормула для корней квадратного уравнения
Справочник по математике для школьников алгебра прямая и обратная теоремы ВиетаПрямая и обратная теоремы Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен

ax2 + bx + c ,(1)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax2 + bx + c = 0,(2)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax2 + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

      Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетааРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

Решение неполных квадратных уравнений

      Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

      Пример 1. Решить уравнение

5x2 = 0 .

      Решение.

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Ответ: 0 .

      Пример 2. Решить уравнение

2x2 + 3x= 0 .(3)

      Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную   x   за скобки, перепишем уравнение в виде

x (2x+ 3) = 0 .(4)

      Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Ответ: Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета .

      Пример 3. Решить уравнение

2x2 – 5 = 0 .

      Решение.

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Ответ: Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета .

      Пример 4. Решить уравнение

3x2 + 11 = 0 .(5)

      Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной   x, а правая часть равна 0, то уравнение  решений не имеет.

      Ответ: Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета.

Выделение полного квадрата

      Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(6)

      Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Формула (6) получена.

Дискриминант

      Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой   D   и вычисляется по формуле:

D = b2 – 4ac.(7)

      Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

      Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(8)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

      Утверждение. В случае, когда Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета, квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D < 0, квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

      Доказательство. В случае, когда   D = 0, формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(9)

      В случае, когда   D > 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Таким образом, в случае, когда   D > 0разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(10)

      В случае, когда  D < 0, выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

      Замечание. В случае, когда  D < 0, квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

      Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

      Действительно, в случае, когда   D = 0, из формулы (9) получаем:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Следовательно, в случае, когда   D = 0, уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(11)

      В случае, когда   D > 0, из формулы (10) получаем:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Таким образом, в случае, когда   D > 0, уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(12)
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(13)

      Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(14)

      Замечание 2. В случае, когда   D = 0,  обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда   D = 0, квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(15)

      Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

      В случае, когда   D = 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax2 + bx + c = a (x – x1)2.(16)

      В случае, когда   D > 0, разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) .(17)

      Замечание 4. В случае, когда   D = 0, корни   x1 и   x2 совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) = a [x2 – (x1 + x2) x + x1x2] = ax2a(x1 + x2) x + ax1x2 .
ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) = a [x2 – (x1 + x2) x + x1x2] =
= ax2a(x1 + x2) x + ax1x2 .
ax2 + bx + c =
= a (x – x1) (x – x2) =
= a [x2 – (x1 + x2) x + x1x2] =
= ax2a(x1 + x2) x + ax1x2 .

      Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax2 + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax2a (x1 + x2) x + a x1x2 .

      Таким образом, справедливы равенства

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

следствием которых являются формулы

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета(18)

      Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета).

      Словами прямая теорема Виета формулируется так: - «Если числа   x1 и   x2 являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».

      Обратная теорема Виета формулируется так: - «Если числа   x1 и   x2 являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

      Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

      Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виетаподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виетаиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования