e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"



Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Квадратные уравнения Алгебра Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета Квадратный трехчлен и квадратные уравнения

Квадратные уравнения

      Квадратным трёхчленом относительно переменной   x   называют многочлен

ax2 + bx + c , (1)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax2 + bx + c = 0, (2)

где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Полным квадратным уравнением относительно переменной   x   называют уравнение

ax2 + bx + c = 0,

где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.

      Неполными  квадратными  уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая 
							и обратная теорема ВиетааРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема ВиетаРешение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

Решение неполных квадратных уравнений

      Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.

      Пример 1. Решить уравнение

5x2 = 0 .

      Решение.

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Ответ: 0 .

      Пример 2. Решить уравнение

2x2 + 3x= 0 . (3)

      Решение. Вынося в левой части уравнения (3) переменную   x   за скобки, перепишем уравнение в виде

x (2x+ 3) = 0 . (4)

      Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Ответ: Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета .

      Пример 3. Решить уравнение

2x2 – 5 = 0 .

      Решение.

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Ответ: Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета .

      Пример 4. Решить уравнение

3x2 + 11 = 0 . (5)

      Решение. Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной   x, а правая часть равна 0, то уравнение  решений не имеет.

      Ответ: Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета.

Выделение полного квадрата

      Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета (6)

      Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Формула (6) получена.

Дискриминант

      Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой   D   и вычисляется по формуле:

D = b2 – 4ac. (7)

      Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.

      Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета (8)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

      Утверждение. В  случае, когда Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета, квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда   D < 0,  квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

      Доказательство.  В случае, когда   D = 0,  формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета (9)

      В случае, когда   D > 0,  выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Таким образом, в случае, когда   D > 0разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета (10)

      В случае, когда  D < 0,  выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.

      Замечание. В случае, когда  D < 0,  квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.

Формула для корней квадратного уравнения

      Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .

      Действительно, в случае, когда   D = 0,  из формулы (9) получаем:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Следовательно, в случае, когда   D = 0,  уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета (11)

      В случае, когда   D > 0,  из формулы (10) получаем:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

      Таким образом, в случае, когда   D > 0,  уравнение (1) имеет два различных корня, которые вычисляются по формулам

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета (12)
Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета (13)

      Замечание 1. Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета (14)

      Замечание 2. В случае, когда   D = 0,  обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда   D = 0,  квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня, вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета (15)

      Замечание 3. В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.

      В случае, когда   D = 0,  разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):

ax2 + bx + c = a (x – x1)2. (16)

      В случае, когда   D > 0,  разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:

ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) . (17)

      Замечание 4. В случае, когда   D = 0,  корни   x1 и   x2 совпадают, и формула (17) принимает вид (16).

Прямая и обратная теоремы Виета

      Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство

ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) = a [x2 – (x1 + x2) x + x1x2] = ax2a(x1 + x2) x + ax1x2 .

      Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена

ax2 + bx + c

равны соответствующим коэффициентам многочлена

ax2a (x1 + x2) x + a x1x2 .

      Таким образом, справедливы равенства

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета

следствием которых являются формулы

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета (18)

      Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета) .

      Словами прямая теорема Виета формулируется так: - «Если числа   x1 и   x2 являются корнями квадратного уравнения (1),   то они удовлетворяют равенствам (18)».

      Обратная теорема Виета формулируется так: - «Если числа   x1 и   x2 являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».

      Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем  наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».

      Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Решение квадратных уравнений дискриминант разложение квадратного трехчлена на множители прямая и обратная теорема Виета индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования