Пусть p(x) – многочлен степени n, а q(x) – многочлен степени n – k, где n и k – натуральные числа, удовлетворяющие неравенству .
Определение. Число α называют корнем кратности k многочлена p(x), если справедливо равенство
p(x) = (x – α)kq (x) , | (1) |
где
Утверждение 1. Число α является корнем кратности k многочлена p(x) тогда и тогда, когда оно является корнем производной этого многочлена кратности k – 1 .
Доказательство. Взяв производную от обеих частей формулы (1), получаем
Поскольку выражение, стоящее в квадратных скобках, при x = α не обращается в нуль, то утверждение 1 доказано.
Из утверждения 1 вытекает следующее
Утверждение 2. Число α является корнем кратности k многочлена p(x) тогда и тогда, когда выполнены равенства:
Задача. Найти все значения параметра m , при которых многочлен
p(x) = x4 – 4m3x + 48
имеет корень кратности 2 .
Решение. Воспользовавшись утверждением 2, получаем
Ответ. m = ± 2 .
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |
|