Кратные корни многочленов

      Пусть   p(x)   – многочлен степени   n,   а   q(x)   – многочлен степени   n – k,   где   n   и   k   – натуральные числа, удовлетворяющие неравенству   Электронный справочник по математике для школьников алгебра кратные корни многочленов.

      Определение. Число   α   называют корнем кратности   k   многочлена   p(x),   если справедливо равенство

p(x) = (x – α)kq (x) ,(1)

где

Электронный справочник по математике для школьников алгебра кратные корни многочленов

      Утверждение 1. Число   α   является корнем кратности   k   многочлена   p(x)   тогда и тогда, когда оно является корнем производной этого многочлена кратности   k – 1 .

      Доказательство. Взяв производную от обеих частей формулы (1), получаем

Электронный справочник по математике для школьников алгебра кратные корни многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра кратные корни многочленов

      Поскольку выражение, стоящее в квадратных скобках, при   x = α   не обращается в нуль, то утверждение 1 доказано.

      Из утверждения 1 вытекает следующее

      Утверждение 2. Число   α   является корнем кратности   k   многочлена   p(x)   тогда и тогда, когда выполнены равенства:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра кратные корни многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра кратные корни многочленов

      Задача. Найти все значения параметра   m ,   при которых многочлен

p(x) = x4 – 4m3x + 48

имеет корень кратности   2 .

      Решение. Воспользовавшись утверждением 2, получаем

Электронный справочник по математике для школьников алгебра кратные корни многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра кратные корни многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра кратные корни многочленов

      Ответ.   m = ± 2 .

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд



НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика