О нас
Демоверсии
Учебные пособия
Справочник по математике
Справочник по математикеЭлектронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения сумма степеней и разность степенейАлгебраЭлектронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения сумма степеней и разность степенейФормулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения:
сумма степеней и разность степеней

      Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения сумма степеней и разность степенейСтепень суммы
Электронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения сумма степеней и разность степенейСтепень разности
Электронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения сумма степеней и разность степенейКвадрат многочлена
Электронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения сумма степеней и разность степенейКуб трехчлена
Электронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения сумма степеней и разность степенейСумма нечетных степеней
Электронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения сумма степеней и разность степенейРазность нечетных степеней
Электронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения сумма степеней и разность степенейРазность четных степеней
Электронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения сумма степеней и разность степеней

Сумма нечетных степеней

      Группа формул «Сумма нечетных степеней» приведена в Таблице 3.

      Таблица 3. – Сумма нечетных степеней

Название формулыФормула
Сумма кубовx3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
Сумма пятых
степеней		x5 + y5 = (x + y) (x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4)
Сумма седьмых
степеней		x7 + y7 = (x + y) (x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + y6)
......
Сумма степеней
порядка  2n + 1  		x2n + 1 + y2n + 1 = (x + y) (x2n – x2n – 1y + x2n – 2 y2 – ...– xy2n – 1 + y2n)

Сумма кубов

x3 + y3 =
= (x + y) (x2 – xy + y2)

Сумма пятых степеней

x5 + y5 =
= (x + y) (x4 – x3y +
+ x2y2 – xy3 + y4)

Сумма седьмых степеней

x7 + y7 =
= (x + y) (x6 – x5y +
+ x4y2 – x3y3 +
+ x2y4 – xy5 + y6)
...

Сумма степеней порядка  2n + 1  

x2n + 1 + y2n + 1 =
= (x + y) (x2n –
– x2n – 1y +
+ x2n – 2 y2 –
– ...– xy2n – 1 + y2n)

Разность нечетных степеней

      Если в формулах из Таблицы 3 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Разность нечетных степеней» (Таблица 4.):

      Таблица 4. – Разность нечетных степеней

Название формулыФормула
Разность кубовx3– y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)
Разность пятых
степеней		x5– y5 = (x – y) (x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4)

Разность седьмых
степеней

x7– y7 = (x – y) (x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6)
......
Разность степеней
порядка  2n + 1		x2n + 1– y2n + 1 = (x – y) (x2n + x2n – 1y + x2n – 2 y2 + ...+ xy2n – 1 + y2n)

Разность кубов

x3– y3 =
= (x – y) (x2 + xy + y2)

Разность пятых степеней

x5– y5 =
= (x – y) (x4 + x3y +
+ x2y2 + xy3 + y4)

Разность седьмых
степеней

x7– y7 =
= (x – y) (x6 + x5y +
+ x4y2 + x3y3 +
+ x2y4 + xy5 + y6)
...

Разность степеней порядка  2n + 1

x2n + 1– y2n + 1 =
= (x – y) (x2n +
+ x2n – 1y +
+ x2n – 2 y2 +
+ ...+ xy2n – 1 + y2n)

Разность четных степеней

      Группа формул «Разность четных степеней» приведена в Таблице 5.

      Таблица 5. – Разность четных степеней

Название формулыФормула
Разность квадратовx2– y2 = (x + y) (x – y)
Разность четвертых
степеней
x4– y4 =
= (x + y) (x3 – x2y + xy2 –y3) =
= (x + y) (x – y) (x2 + y2)
Разность шестых
степеней
x6– y6 =
= (x + y) (x5 – x4y + x3y2 – x2y3 + xy4 –y5) =
= (x + y) (x – y) (x2 – xy + y2) (x2 + xy + y2)
Разность восьмых
степеней
x8– y8 =
= (x + y) (x7 – x6y + x5y2 – x4y3 + x3y4 – x2y5 + xy6 –y7) =
= (x + y) (x – y) (x2 + y2) (x4 + y4)
......
Разность степеней
порядка  2n		x2n– y2n = (x + y) (x2n – 1 – x2n – 2 y + x2n – 3 y2 – ...+ xy2n – 2 – y2n – 1) ,
x2n– y2n = (x – y) (x2n – 1 + x2n – 2 y + x2n – 3 y2 + ...+ xy2n – 2 + y2n – 1)

Разность квадратов

x2– y2 = (x + y) (x – y)

Разность четвертых степеней

x4– y4 =
= (x + y) (x3 – x2y +
+ xy2 –y3) =
= (x + y) (x – y) (x2 +
+ y2)

Разность шестых степеней

x6– y6 =
= (x + y) (x5 – x4y +
+ x3y2 –
– x2y3 +
+ xy4 –y5) =
= (x + y) (x – y) (x2 –
– xy + y2) (x2 +
+ xy + y2)

Разность восьмых степеней

x8– y8 =
= (x + y) (x7 – x6y +
+ x5y2 – x4y3 +
+ x3y4 –
– x2y5 + xy6 –y7) =
= (x + y) (x – y) (x2 +
+ y2) (x4 + y4)
...

Разность степеней порядка  2n

x2n– y2n =
= (x + y) (x2n – 1 –
– x2n – 2 y +
+ x2n – 3 y2 –
– ...+ xy2n – 2 –
– y2n – 1)

* * *

x2n– y2n =
= (x – y) (x2n – 1 +
+ x2n – 2 y +
+ x2n – 3 y2 +
+ ...+ xy2n – 2 +
+ y2n – 1)

      Замечание. Оба разложения на множители двучлена:

x2n– y2n ,

приведенные в последней строке Таблицы 5, можно продолжить и далее, по аналогии с тем, как это сделано в других строках таблицы.

      Другие формулы сокращенного умножения можно посмотреть в разделе «Формулы сокращенного умножения: степень суммы, степень разности» нашего справочника.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд









НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика