Mосква, Северо-восток

Разложение многочленов на множители. Формулы Виета

Электронный справочник по математике для школьников алгебра алгебраические уравненияАлгебраические уравнения
Электронный справочник по математике для школьников алгебра разложение многочленов на линейные множители в комплексной областиОсновная теорема алгебры. Разложение многочленов на линейные множители в комплексной области
Электронный справочник по математике для школьников алгебра разложение на множители многочленов с действительными коэффициентамиРазложение на множители многочленов с действительными коэффициентами
Электронный справочник по математике для школьников алгебра теорема формулы ВиетаТеорема (формулы) Виета
Электронный справочник по математике для школьников алгебра Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

Алгебраические уравнения

      Пусть   n   – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен   n   – ой степени от переменной   x  

Pn (x) =
=
a0 xn + a1 x n –1 +
+
… + an –1 x + an ,
(1)

коэффициенты которого

a0 ,  a1 , … , an –1 , an(2)

являются любыми комплексными числами.

      Заметим, что в этом случае коэффициент   a0   отличен от нуля, и введем следующее определение.

      Определение 1. Алгебраическим уравнением степени   n   с неизвестным   x   называют уравнение вида

Pn (x) = 0 .(3)

      Определение 2. Корнем уравнения (3) называют вещественное или комплексное число   α ,   для которого

Pn (α) = 0 .

      Определение 3 . Число   α   называют корнем кратности   k   уравнения (3), если справедливо равенство

Pn (α) = (x – α )k Q (x) ,

где

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета.

Разложение многочленов на множители в комплексной области

      Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) утверждает, что любое алгебраическое уравнение вида (3) имеет   n   корней, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

      Если

z1 ,  z2 , … , zk –1 , zk

– полный набор корней уравнения (3), а

l1 ,  l2 , … , lk –1 , lk

– их кратности, то, во-первых,

l1 +  l2 + … + lk –1 + lk = n ,

а, во-вторых, справедливо равенство

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
(4)

      ЗамечаниеЛинейными множителями называют многочлены первой степени

x – z1 ,  x – z2 , … , xzk ,

входящие в формулу (4), а саму формулу (4) называют формулой разложения многочленов на линейные множители в комплексной области.

Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами

      Рассмотрим теперь многочлены степени   Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета,   все коэффициенты которых являются вещественными числами.

      Тогда справедливо следующее

      Утверждение. Если комплексное число

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

является корнем кратности   ls   многочлена с вещественными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

является корнем этого многочлена, причем тоже кратности   ls .

      Из утверждения вытекает, что в разложение (4) степень каждого бинома, содержащая комплексный корень   zs   и имеющая вид

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
(5)

входит в паре со степенью бинома, содержащей комплексно сопряженный корень   Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета   и имеющей вид

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
(6)

      А поскольку

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

то произведение каждой пары биномов (5) и (6), входящей в формулу (4), даёт степень квадратного трехчлена с вещественными коэффициентами:

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

      Следствие. Каждый многочлен ненулевой степени, коэффициенты которого являются вещественными числами, разлагается на множители, являющиеся многочленами с вещественными коэффициентами первой или второй степени.

      Пример. Разложить на множители многочлен четвертой степени

x4 + 1 .

      Решение.

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

Теорема (формулы) Виета

      Снова рассмотрим уравнение   n – ой степени от переменной   x  

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
(7)

и, немного изменив предыдущие обозначения, предположим, что

z1 ,  z2 , … , zn –1 , zn(8)

- его корни, причем в записи (8) каждый корень взят столько раз, какова его кратность.

      Тогда из формулы (4) вытекают следующие равенства, которые называют формулами Виета для уравнения   n – ой степени:

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

      Формулы Виета для   n = 2   доказаны в разделе «Квадратные уравнения» нашего справочника.

      При   n = 3   уравнение (7) имеет вид

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

а формулы Виета записываются так:

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

      В случае уравнения 4-ой степени

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

формулы Виета записываются так:

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виетаподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виетаиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Готовитесь
к ОГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ ПАРТНЕРЫ

    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика