Пусть n – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен n – ой степени от переменной x
Pn (x) = = a0 xn + a1 x n –1 + + … + an –1 x + an , | (1) |
коэффициенты которого
a0 , a1 , … , an –1 , an | (2) |
являются любыми комплексными числами.
Заметим, что в этом случае коэффициент a0 отличен от нуля, и введем следующее определение.
Определение 1. Алгебраическим уравнением степени n с неизвестным x называют уравнение вида
Pn (x) = 0 . | (3) |
Определение 2. Корнем уравнения (3) называют вещественное или комплексное число α , для которого
Pn (α) = 0 .
Определение 3 . Число α называют корнем кратности k уравнения (3), если справедливо равенство
Pn (α) = (x – α )k Q (x) ,
где
.
Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) утверждает, что любое алгебраическое уравнение вида (3) имеет n корней, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.
Если
z1 , z2 , … , zk –1 , zk
– полный набор корней уравнения (3), а
l1 , l2 , … , lk –1 , lk
– их кратности, то, во-первых,
l1 + l2 + … + lk –1 + lk = n ,
а, во-вторых, справедливо равенство
(4) |
Замечание. Линейными множителями называют многочлены первой степени
x – z1 , x – z2 , … , x – zk ,
входящие в формулу (4), а саму формулу (4) называют формулой разложения многочленов на линейные множители в комплексной области.
Рассмотрим теперь многочлены степени , все коэффициенты которых являются вещественными числами.
Тогда справедливо следующее
Утверждение. Если комплексное число
является корнем кратности ls многочлена с вещественными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число
является корнем этого многочлена, причем тоже кратности ls .
Из утверждения вытекает, что в разложение (4) степень каждого бинома, содержащая комплексный корень zs и имеющая вид
(5) |
входит в паре со степенью бинома, содержащей комплексно сопряженный корень и имеющей вид
(6) |
А поскольку
то произведение каждой пары биномов (5) и (6), входящей в формулу (4), даёт степень квадратного трехчлена с вещественными коэффициентами:
Следствие. Каждый многочлен ненулевой степени, коэффициенты которого являются вещественными числами, разлагается на множители, являющиеся многочленами с вещественными коэффициентами первой или второй степени.
Пример. Разложить на множители многочлен четвертой степени
x4 + 1 .
Решение.
Снова рассмотрим уравнение n – ой степени от переменной x
(7) |
и, немного изменив предыдущие обозначения, предположим, что
z1 , z2 , … , zn –1 , zn | (8) |
- его корни, причем в записи (8) каждый корень взят столько раз, какова его кратность.
Тогда из формулы (4) вытекают следующие равенства, которые называют формулами Виета для уравнения n – ой степени:
Формулы Виета для n = 2 доказаны в разделе «Квадратные уравнения» нашего справочника.
При n = 3 уравнение (7) имеет вид
а формулы Виета записываются так:
В случае уравнения 4-ой степени
формулы Виета записываются так:
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |