Mосква, Северо-восток
Справочник по математикеРазложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема ВиетаАлгебраРазложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема ВиетаДеление многочленов.
Корни многочленов

Разложение многочленов на множители. Формулы Виета

Электронный справочник по математике для школьников алгебра алгебраические уравненияАлгебраические уравнения
Электронный справочник по математике для школьников алгебра разложение многочленов на линейные множители в комплексной областиОсновная теорема алгебры. Разложение многочленов на линейные множители в комплексной области
Электронный справочник по математике для школьников алгебра разложение на множители многочленов с действительными коэффициентамиРазложение на множители многочленов с действительными коэффициентами
Электронный справочник по математике для школьников алгебра теорема формулы ВиетаТеорема (формулы) Виета

Электронный справочник по математике для школьников алгебра Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

Алгебраические уравнения

      Пусть   n   – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен   n   – ой степени от переменной   x  

Pn (x) = a0 xn + a1 x n –1 + … + an –1 x + an ,(1)

коэффициенты которого

a0 ,  a1 , … , an –1 , an(2)

являются любыми комплексными числами.

      Заметим, что в этом случае коэффициент   a0   отличен от нуля, и введем следующее определение.

      Определение 1.Алгебраическим уравнением степени   n   с неизвестным   x   называют уравнение вида

Pn (x) = 0 .(3)

      Определение 2. Корнем уравнения (3) называют вещественное или комплексное число   α ,   для которого

Pn (α) = 0 .

      Определение 3 . Число   α   называют корнем кратности   k   уравнения (3), если справедливо равенство

Pn (α) = (x – α )k Q (x) ,

где

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета.

Разложение многочленов на множители в комплексной области

      Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) утверждает, что любое алгебраическое уравнение вида (3) имеет   n   корней, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

      Если

z1 ,  z2 , … , zk –1 , zk

– полный набор корней уравнения (3), а

l1 ,  l2 , … , lk –1 , lk

– их кратности, то, во-первых,

l1 +  l2 + … + lk –1 + lk = n ,

а, во-вторых, справедливо равенство

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета(4)

      ЗамечаниеЛинейными множителями называют многочлены первой степени

x – z1 ,  x – z2 , … , xzk ,

входящие в формулу (4), а саму формулу (4) называют формулой разложения многочленов на линейные множители в комплексной области.

Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами

      Рассмотрим теперь многочлены степени   Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета,   все коэффициенты которых являются вещественными числами.

      Тогда справедливо следующее

      Утверждение. Если комплексное число

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

является корнем кратности   ls   многочлена с вещественными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

является корнем этого многочлена, причем тоже кратности   ls .

      Из утверждения вытекает, что в разложение (4) степень каждого бинома, содержащая комплексный корень   zs   и имеющая вид

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета(5)

входит в паре со степенью бинома, содержащей комплексно сопряженный корень   Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета   и имеющей вид

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета(6)

      А поскольку

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

то произведение каждой пары биномов (5) и (6), входящей в формулу (4), даёт степень квадратного трехчлена с вещественными коэффициентами:

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

      Следствие. Каждый многочлен ненулевой степени, коэффициенты которого являются вещественными числами, разлагается на множители, являющиеся многочленами с вещественными коэффициентами первой или второй степени.

      Пример. Разложить на множители многочлен четвертой степени

x4 + 1 .

      Решение.

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

Теорема (формулы) Виета

      Снова рассмотрим уравнение   n   – ой степени от переменной   x  

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета(7)

и, немного изменив предыдущие обозначения, предположим, что

z1 ,  z2 , … , zn –1 , zn(8)

-  его корни, причем в записи (8) каждый корень взят столько раз, какова его кратность.

      Тогда из формулы (4) вытекают следующие равенства, которые называют формулами Виета для уравнения   n   – ой степени:

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

      Формулы Виета для   n = 2   доказаны в разделе «Квадратные уравнения» нашего справочника.

      При   n = 3   уравнение (7) имеет вид

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

а формулы Виета записываются так:

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

      В случае уравнения 4-ой степени

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

формулы Виета записываются так:

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виета

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виетаподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Разложение многочленов на множители в комплексной и действительной областях основная теорема алгебры формылы теорема Виетаиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно
с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Готовитесь
к ОГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования