Mосква, Северо-восток

Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари

Справочник по математике для школьников алгебра схема метода ФеррариСхема метода Феррари
Справочник по математике для школьников алгебра приведение уравнений 4 степениПриведение уравнений 4-ой степени
Справочник по математике для школьников алгебра разложение на множители кубическая  резольвентаРазложение на множители. Кубическая резольвента
Справочник по математике для школьников алгебра пример решения уравнения 4 степениПример решения уравнения 4-ой степени
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

Схема метода Феррари

      Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a0x4 + a1x3 + a2x2 +
+
a3x + a4 = 0,
(1)

где a0, a1, a2, a3, a4 произвольные вещественные числа, причем Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x4 + ax3 + bx2 +
+
cx + d = 0,
(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари(3)

где y – новая переменная.

      Тогда, поскольку

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
(4)

      Если ввести обозначения

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

то уравнение (4) примет вид

y4 + py2 + qy + r = 0,(5)

где p, q, r – вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy2 + s2,

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
(6)

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
(7)

то уравнение (6) примет вид

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
(8)

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

или, раскрыв скобки, - в виде

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
(9)

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
(10)

а также квадратное уравнение

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
(11)

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

x4 + 4x3 – 4x2
20x – 5 = 0.
(12)

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

x = y – 1.(13)

      Поскольку

x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 =
= (y – 1)4 + 4(y – 1)3
4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 =
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 +
+
4y3 – 12y2 + 12y – 4 –
– 4y2 + 8y – 4 –
20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0.(14)

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10,      q = – 4,       r = 8.(15)

      В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0.(16)

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

s = – 3.(17)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y2 – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
(18)

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y2 + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
(19)

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

Ответ.

Решение уравнений четвертой степени метод Феррари
Решение уравнений четвертой степени метод Феррари

      Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y4 – 10y2 – 4y + 8 =
=
(y2 – 2y – 4) (y2 +
+
2y – 2).
(20)

      Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Решение уравнений четвертой степени метод Феррариподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Решение уравнений четвертой степени метод Феррарииндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования