Mосква, Северо-восток

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Алгебраические и трансцендентные числа

Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов корни многочленов рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами алгебраические числа трансцендентные числаРациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов корни многочленов алгебраические числа трансцендентные числаАлгебраические и трансцендентные числа
Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов корни многочленов рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами алгебраические числа трансцендентные числа

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Прежде, чем дать общую формулировку теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами, решим следующую задачу.

      Задача. Найти все корни уравнения

2x3 + x2 – 5 x – 3 = 0,

являющиеся рациональными числами.

      Решение. Предположим, что рассматриваемое уравнение имеет корень, являющийся рациональным числом. Тогда, поскольку каждое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами,

где   m   – число целое, а   n   – число натуральное, то выполняется равенство:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Умножая это равенство на   n3,   получаем равенство:

2m3 + m2n – 5 m n2
3n3 = 0.
(1)

      Теперь преобразуем равенство (1):

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Отсюда вытекает, что число   2m3   нацело делится на число   n .   А из этого, в свою очередь, следует, что, поскольку числа   m   и   n   не имеют общих простых делителей, то число   n   является делителем числа   2 .   Таким образом, число   n   равно   1   или   2 .

      Теперь преобразуем равенство (1) по-другому:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Значит, число   3n3   нацело делится на число   m .   А из этого, в свою очередь, следует, что, так как числа   m   и   n   не имеют общих простых делителей, то число   m   является делителем числа   3.   Таким образом, число   m   может быть равно:   – 1,   1,   – 3   или   3.

      Далее, рассматривая все возможные комбинации чисел   m   и   n ,   получаем, что дробь

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

может принимать только следующие значения:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Таким образом, если у исходного уравнения и есть рациональный корень, то искать его нужно среди полученных шести чисел. Других рациональных корней у исходного уравнения быть не может.

      Подставляя поочередно каждое из этих чисел в исходное уравнение, получаем, что корнем уравнения является лишь число Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.

      Оставляя читателю проверку того, что другие числа корнями исходного уравнения не являются, покажем, что число Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами действительно является его корнем:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Ответ. Число Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами является единственным рациональным корнем исходного уравнения.

      Замечание. Для того, чтобы найти все остальные корни исходного уравнения, нужно, воспользовавшись теоремой Безу, разделить многочлен

2x3 + x2 – 5 x – 3

на двучлен

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      В результате деления получится квадратный трехчлен

2x2 – 2x – 2 ,

после чего остается лишь решить квадратное уравнение:

x2x – 1 = 0 .

      Теорема. Если рациональное число (несократимая дробь)

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами,

где   m   – число целое, а   n   – число натуральное, является корнем многочлена   k -ой степени

a0 xk + a1 x k –1 + a2 x k –2 +
+
… +
+
ak –1 x + ak ,

все коэффициенты

a0 ,  a1 ,  a2 , … , ak –1 , ak ,

которого являются целыми числами, то числитель дроби   m   является делителем коэффициента   ak ,   а знаменатель дроби   n   является делителем коэффициента   a0 .

      Коэффициент   a0   называют старшим коэффициентом многочлена, а коэффициент   ak   – свободным членом многочлена.

Алгебраические и трансцендентные числа

      Определение. Действительное число называют действительным алгебраическим числом, если существует многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого это число является. Если же такой многочлен не существует, то указанное число называют действительным трансцендентным числом.

      Замечание. Числа   π   и   e   – наиболее известные примеры действительных трансцендентных чисел.

      Утверждение. Каждое рациональное число является алгебраическим числом.

      Доказательство. Каждое рациональное число представимо в виде несократимой дроби

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами,

где   m   – число целое, а   n   – число натуральное. Но указанная дробь является корнем уравнения первой степени

nxm = 0 ,

что и требовалось доказать.

      Следствие. Каждое действительное трансцендентное число является иррациональным числом.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентамиподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентамииндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования