e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд



ЕГЭ
по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

<

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

<

ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

рациональные корни многочленов с целыми коэффициентамиЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
рациональные корни многочленов с целыми коэффициентамиОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
рациональные корни многочленов с целыми коэффициентамиЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
рациональные корни многочленов с целыми коэффициентамиОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
рациональные корни многочленов с целыми коэффициентамиТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
рациональные корни многочленов с целыми коэффициентамиОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
рациональные корни многочленов с целыми коэффициентамиЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеЭлектронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов корни многочленов рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами алгебраические числа трансцендентные числаАлгебраЭлектронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов корни многочленов рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами алгебраические числа трансцендентные числаДеление многочленов.
Корни многочленов

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Алгебраические и трансцендентные числа

Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов корни многочленов рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами алгебраические числа трансцендентные числаРациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов корни многочленов алгебраические числа трансцендентные числаАлгебраические и трансцендентные числа

Электронный справочник по математике для школьников алгебра деление многочленов корни многочленов рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами алгебраические числа трансцендентные числа

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Прежде, чем дать общую формулировку теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами, решим следующую задачу.

      Задача. Найти все корни уравнения

2x3 + x2 – 5 x – 3 = 0,

являющиеся рациональными числами.

      Решение. Предположим, что рассматриваемое уравнение имеет корень, являющийся рациональным числом. Тогда, поскольку каждое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами,

где   m   – число целое, а   n   – число натуральное, то выполняется равенство:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Умножая это равенство на   n3,   получаем равенство:

2m3 + m2n – 5 m n2 – 3n3 = 0. (1)

      Теперь преобразуем равенство (1):

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Отсюда вытекает, что число   2m3   нацело делится на число   n .   А из этого, в свою очередь, следует, что, поскольку числа   m   и   n   не имеют общих простых делителей, то число   n   является делителем числа   2 .   Таким образом, число   n   равно   1   или   2 .

      Теперь преобразуем равенство (1) по-другому:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Значит, число   3n3   нацело делится на число   m .   А из этого, в свою очередь, следует, что, так как числа   m   и   n   не имеют общих простых делителей, то число   m   является делителем числа   3.   Таким образом, число   m   может быть равно:   – 1,   1,   – 3   или   3.

      Далее, рассматривая все возможные комбинации чисел   m   и   n ,   получаем, что дробь

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

может принимать только следующие значения:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Таким образом, если у исходного уравнения и есть рациональный корень,  то искать его нужно среди полученных шести чисел. Других рациональных корней у исходного уравнения быть не может.

      Подставляя поочередно каждое из этих чисел в исходное уравнение, получаем, что корнем уравнения является лишь число Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.

      Оставляя читателю проверку того, что другие числа корнями исходного уравнения не являются, покажем, что число Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами действительно является его корнем:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      Ответ. Число Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами является единственным рациональным корнем исходного уравнения.

      Замечание. Для того, чтобы найти все остальные корни исходного уравнения, нужно, воспользовавшись теоремой Безу, разделить многочлен

2x3 + x2 – 5 x – 3

на двучлен

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

      В результате деления получится квадратный трехчлен

2x2 – 2x – 2 ,

после чего остается лишь решить квадратное уравнение:

x2x – 1 = 0 .

      Теорема. Если рациональное число (несократимая дробь)

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами,

где   m   – число целое, а   n   – число натуральное, является корнем многочлена   k -ой степени

a0 xk + a1 x k –1 + a2 x k –2 + … + ak –1 x + ak ,

все коэффициенты

a0 ,  a1 ,  a2 , … , ak –1 , ak ,

которого являются целыми числами, то числитель дроби   m   является делителем коэффициента   ak ,   а знаменатель дроби   n   является делителем коэффициента   a0 .

      Коэффициент   a0   называют старшим коэффициентом многочлена, а коэффициент   ak   – свободным членом многочлена.

Алгебраические и трансцендентные числа

      Определение. Действительное число называют действительным алгебраическим числом, если существует многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого это число является. Если же такой многочлен не существует, то указанное число называют действительным трансцендентным числом.

      Замечание. Числа   π   и   e   – наиболее известные примеры действительных трансцендентных чисел.

      Утверждение. Каждое рациональное число является алгебраическим числом.

      Доказательство. Каждое рациональное число представимо в виде несократимой дроби

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами,

где   m   – число целое, а   n   – число натуральное. Но указанная дробь является корнем уравнения первой степени

nxm = 0 ,

что и требовалось доказать.

      Следствие. Каждое действительное трансцендентное число является иррациональным числом.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентамиподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Электронный справочник по математике для школьников алгебра рациональные корни многочленов с целыми коэффициентамииндивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования