e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

ЕГЭ по физике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"



Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Решение кубических уравнений вывод формулы КарданоГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано Алгебра Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано Кубические уравнения

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

Схема метода Кардано

      Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

a0x3 + a1x2 + a2x+ a3= 0, (1)

где a0, a1, a2, a3произвольные вещественные числа, Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x3 + ax2 + bx + c = 0, (2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (3)

      Тогда, поскольку

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то уравнение (2) примет вид

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (4)

      Если ввести обозначения

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то уравнение (4) примет вид

y3 + py + q= 0, (5)

где p, q –  вещественные числа.

      Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

      Первый этап вывода формулы Кардано  завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям

      Будем искать решение уравнения (5) в виде

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (6)

где z –  новая переменная.

      Поскольку

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то выполнено равенство:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (7)

      Если теперь уравнение (7) умножить на    z3, то мы получим квадратное уравнение относительно    z3:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (8)

Формула Кардано

      Решение уравнения (8) имеет вид:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Следовательно,

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (9)

      В развернутой форме эти решения записываются так:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (10)
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (11)

      Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      С другой стороны,

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Таким образом,

   y1 = y2 = z1 + z2

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (12)

которая и называется «Формула Кардано».

      Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три  различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

x3 – 6x2 – 6x – 2 = 0. (13)

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

x = y + 2. (14)

      Тогда получим

x3 – 6x2 – 6x – 2 = (y + 2)3– 6(y + 2)2 – 6(y + 2) – 2 =
= y3 + 6y2 + 12y + 8 – 6y2 – 24y – 24 – 6y – 12 – 2 = y3 – 18y – 30.

      Следовательно, уравнение (13) принимает вид

y3 – 18y – 30 = 0. (15)

      Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (16)

      Тогда поскольку

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то уравнение (15) примет вид

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (17)

      Далее из (17) получаем:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Отсюда по формуле (16) получаем:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано (18)

      Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

или использовали формулу

y = z1 + z2 .

      Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Таким образом, мы нашли у уравнения  (13) вещественный корень

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2.  Поскольку произвольное кубическое уравнение  в комплексной области имеет 3 корня  с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования