e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



Комплексные числа действия с комплексными числамиЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числами ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числами ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числами ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числамиТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числами ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числами ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числамиОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числамиГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числами Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числамиЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числамиОГЭ-2016. Математика. 36 вариантов. Типовые экзаменацион- ные варианты - Семенов А.Л.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числамиПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числамиЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числамиЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числами ОГЭ (ГИА). Математика. Задачник. Сборник заданий и методических рекомендаций - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числами ЕГЭ супертренинг. Математика. Тематические тренировочные задания. Уровень В, С. - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Комплексные числа действия с комплексными числами Математика. Подготовка к ЕГЭ. Задание C3. Решение неравенств с одной переменной - Прокофьев А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Комплексные числа действия над комплексными числами Алгебра Комплексные числа действия над комплексными числами Комплексные числа

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

      Пусть x и y - произвольные вещественные числа.

      Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x , y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

      Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x , 0).

      Комплексные числа, заданные парами (0 , y), называют чисто мнимыми числами.

      Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

      Алгебраическая форма - это  такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число   z, заданное парой вещественных чисел   (x , y), записывается в виде

z = x + i y. (1)

где использован символ   i , называемый мнимой единицей.

      Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Re z.

      Число y называют мнимой частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Im z.

      Комплексные числа, у которых   Im z = 0 , являются вещественными числами.

      Комплексные числа, у которых     Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами.

      Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

      Сложение и вычитание комплексных чисел   z1 = x1 + i y1  и   z2 = x2 + i y2  осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов)   x1 + i y1   и   x2 + i y2 , т.е. в соответствии с формулами

z1 + z2 = x1 + i y1 + x2 + i y2 = x1 + x2 + i (y1 + y2) ,

z1z2 = x1 + i y1– (x2 + i y2) = x1x2 + i (y1y2) .

      Умножение комплексных чисел   z1 = x1 + i y1  и   z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

i 2 = – 1 .   (1)

      По этой причине

z1 z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2) = x1x2 + i x1 y2 + i y1x2 + i 2 y1 y2 =

= x1x2 + i x1 y2 + i y1x2y1 y 2 = x1x2y1 y2 + i (x1 y2 + i x2 y1) .

Комплексно сопряженные числа

      Два комплексных числа   z = x + iy   и ЛКомплексные числа комплексно сопряженные числа у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.

      Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Комплексные числа комплексно сопряженные числаКомплексные числа комплексно сопряженные числа
Комплексные числа комплексно сопряженные числаКомплексные числа комплексно сопряженные числа
Комплексные числа комплексно сопряженные числаКомплексные числа комплексно сопряженные числа
Комплексные числа комплексно сопряженные числаКомплексные числа комплексно сопряженные числа
Комплексные числа комплексно сопряженные числаКомплексные числа комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

      Модулем комплексного числа   z = x + i y   называют вещественное число, обозначаемое | z |  и определенное по формуле

Комплексные числа модуль комплексного числа

      Для произвольного комплексного числа   z   справедливо равенство:

Комплексные числа модуль комплексного числа

а для произвольных комплексных чисел    z1  и     z2  справедливы неравенства:

Комплексные числа модуль комплексного числа Комплексные числа модуль комплексного числа
Комплексные числа модуль комплексного числаКомплексные числа модуль комплексного числа
Комплексные числа модуль комплексного числаКомплексные числа модуль комплексного числа
Комплексные числа модуль комплексного числаКомплексные числа модуль комплексного числа

      Замечание. Если   z   - вещественное число, то его модуль   | z |  равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел

      Деление  комплексного числа   z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число  
z
2 = x2 + i y2
 осуществляется по формуле

Комплексные числа деление комплексных чисел

      Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Комплексные числа деление комплексных чисел

      Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

Комплексные числа изображение  комплексных чисел радиус-векторами  координатной плоскости

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy - мнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  -  в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Комплексные числа аргумент комплексного числа

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент  любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ ,  где  k  - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

      Тогда оказывается справедливым равенство:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z |    и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Комплексные числа аргумент комплексного числа (3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа   x и y, то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

Комплексные числа аргумент комплексного числа (4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположение
числа 
z
Знаки x и y Главное значение аргумента Аргумент Примеры
Положительная
вещественная
полуось

x > 0 ,

y = 0

0 φ = 2kπ Комплексные числа аргумент комплексного числа
Первый
квадрант

x > 0 ,

y > 0

Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа
Положительная
мнимая
полуось

x = 0 ,

y > 0

Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа
Второй
квадрант

x < 0 ,

y > 0

Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа
Отрицательная
вещественная
полуось

x < 0 ,

y = 0

π φ = π + 2kπ Комплексные числа аргумент комплексного числа
Третий
квадрант

x < 0 ,

y < 0

Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа
Отрицательная
мнимая
полуось

x = 0 ,

y < 0

Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа
Четвёртый
квадрант

x > 0 ,

y < 0

Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа Комплексные числа аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

      Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде

z = r (cos φ + i sin φ) , (5)

где   r  и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству
r > 0.

      Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

      В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:

cos φ + i sin φ = e iφ. (6)

      Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа  (5)  вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде

z = r e iφ, (7)

где   r  и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству
r > 0.

      Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа.

      Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

Комплексные числа формула Эйлера экспоненциальная форма  записи комплексного числа

а из формул (4)  и (6) следует, что модуль комплексного числа

cos φ + i sin φ,

или, что то же самое, числа   e iφ,   при любом значении φ равен 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

      Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

      Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень  комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме и Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень  комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень  комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме

      Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

      При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

      Возведение комплексного числа  z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень  комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме

      Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Пусть Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа- произвольное комплексное число, отличное от нуля.

      Корнем   n - ой степени из числа  z0 , где Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа называют такое комплексное число   z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z0. (8)

      Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ ,  где  k  - произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа

следствием которых являются равенства

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа (9)

      Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет   n   различных корней

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа (10)

где

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов  zk  при   k = 0 , ... , n 1  располагаются в вершинах правильного   n - угольника, вписанного в окружность радиуса Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа с центром в начале координат.

      Замечание. В случае   n = 2   уравнение (8) имеет два различных корня    z1 и z2 , отличающихся знаком:

z2 = – z1 .

      Пример 1. Найти все корни уравнения

z3 = – 8i .

      Решение. Поскольку

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа

то по формуле (10) получаем:

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа

      Следовательно,

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа

      Пример 2. Решить уравнение

z2 + 2z + 2 = 0 .

      Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа

      Так как

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа

то решения уравнения имеют вид

z1 = – 1 + i ,       z2 = – 1 – i .

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Комплексные числа действия с комплексными числами подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Комплексные числа действия с комплексными числами индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


      Яндекс цитирования