Mосква, Северо-восток

Комплексные числа

Справочник по математике для школьников алгебра алгебраическая форма записи комплексных чиселАлгебраическая форма записи комплексных чисел
Справочник по математике для школьников алгебра сложение вычитание и умножение комплексных чисел записанных в алгебраической формеСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Справочник по математике для школьников алгебра комплексно сопряженные числаКомплексно сопряженные числа
Справочник по математике для школьников алгебра модуль комплексного числаМодуль комплексного числа
Справочник по математике для школьников алгебра деление комплексных чисел записанных в алгебраической формеДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Справочник по математике для школьников алгебра изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскостиИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
Справочник по математике для школьников алгебра аргумент комплексного числаАргумент комплексного числа
Справочник по математике для школьников алгебра тригонометрическая форма записи комплексного числаТригонометрическая форма записи комплексного числа
Справочник по математике для школьников алгебра формула Эйлера экспоненциальная форма записи комплексного числаФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
Справочник по математике для школьников алгебра умножение деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел  записанных в экспоненциальной формеУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Справочник по математике для школьников алгебра извлечение корня натуральной степени из комплексного числаИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Комплексные числа действия над комплексными числами

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

      Пусть x и y - произвольные вещественные числа.

      Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

      Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0).

      Комплексные числа, заданные парами (0, y), называют чисто мнимыми числами.

      Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

      Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число   z, заданное парой вещественных чисел   (x, y), записывается в виде

z = x + i y .(1)

где использован символ   i , называемый мнимой единицей.

      Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Re z.

      Число y называют мнимой частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Im z.

      Комплексные числа, у которых   Im z = 0 , являются вещественными числами.

      Комплексные числа, у которых     Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами.

      Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

      Сложение и вычитание комплексных чисел   z1 = x1 + i y1 и   z2 = x2 + i y2 осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов)   x1 + i y1   и   x2 + i y2 , т.е. в соответствии с формулами

z1 + z2 = x1 + i y1 + x2 + i y2 = x1 + x2 + i (y1 + y2) ,

z1z2 = x1 + i y1– (x2 + i y2) = x1x2 + i (y1y2) .

z1 + z2 = x1 + i y1 + x2 + i y2 =
= x1 + x2 + i (y1 + y2) ,

z1z2 = x1 + i y1– (x2 + i y2) =
= x1x2 + i (y1y2) .

      Умножение комплексных чисел   z1 = x1 + i y1 и   z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

i 2 = – 1 .(2)

      По этой причине

z1 z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2) = x1x2 + i x1 y2 + i y1x2 + i 2 y1 y2 =
= x1x2 + i x1y2 + i y1x2y1 y2 = x1x2y1 y2 + i (x1 y2 + i x2 y1) .

z1 z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2) =
= x1x2 + i x1 y2 + i y1x2 + i 2 y1 y2 =
= x1x2 + i x1y2 + i y1x2y1 y2 =
= x1x2y1 y2 + i (x1 y2 + i x2 y1) .

Комплексно сопряженные числа

      Два комплексных числа   z = x + iy   и Комплексные числа комплексно сопряженные числа у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.

      Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Комплексные числа комплексно сопряженные числаКомплексные числа комплексно сопряженные числа
Комплексные числа комплексно сопряженные числаКомплексные числа комплексно сопряженные числа
Комплексные числа комплексно сопряженные числаКомплексные числа комплексно сопряженные числа
Комплексные числа комплексно сопряженные числаКомплексные числа комплексно сопряженные числа
Комплексные числа комплексно сопряженные числаКомплексные числа комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

      Модулем комплексного числа   z = x + i y   называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Комплексные числа модуль комплексного числа

      Для произвольного комплексного числа   z   справедливо равенство:

Комплексные числа модуль комплексного числа

а для произвольных комплексных чисел    z1 и     z2 справедливы неравенства:

Комплексные числа модуль комплексного числаКомплексные числа модуль комплексного числа
Комплексные числа модуль комплексного числаКомплексные числа модуль комплексного числа
Комплексные числа модуль комплексного числаКомплексные числа модуль комплексного числа
Комплексные числа модуль комплексного числаКомплексные числа модуль комплексного числа

      Замечание. Если   z   - вещественное число, то его модуль   | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

      Деление комплексного числа   z1 = x1 + i y1   на отличное от нуля комплексное число   z2 = x2 + i y2   осуществляется по формуле

Комплексные числа деление комплексных чисел
Комплексные числа деление комплексных чисел

      Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Комплексные числа деление комплексных чисел

      Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

Комплексные числа изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oyмнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  - в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Комплексные числа аргумент комплексного числа

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

      Тогда оказывается справедливым равенство:

Комплексные числа аргумент комплексного числа

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Комплексные числа аргумент комплексного числа(3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа   x и y, то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

Комплексные числа аргумент комплексного числа(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположение
числа  z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось

x > 0 ,

y = 0

0φ = 2kπКомплексные числа аргумент комплексного числа
Первый
квадрант

x > 0 ,

y > 0

Комплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числа
Положительная
мнимая
полуось

x = 0 ,

y > 0

Комплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числа
Второй
квадрант

x < 0 ,

y > 0

Комплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числа
Отрицательная
вещественная
полуось

x < 0 ,

y = 0

πφ = π + 2kπКомплексные числа аргумент комплексного числа
Третий
квадрант

x < 0 ,

y < 0

Комплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числа
Отрицательная
мнимая
полуось

x = 0 ,

y < 0

Комплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числа
Четвёртый
квадрант

x > 0 ,

y < 0

Комплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числаКомплексные числа аргумент комплексного числа
Расположение
числа  z
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y

x > 0 ,

y = 0

Главное
значение
аргумента
0
Аргумент
φ = 2kπ
ПримерыКомплексные числа аргумент комплексного числа
Расположение
числа  z
Первый
квадрант

 
Знаки x и y

x > 0 ,

y > 0

Главное
значение
аргумента
Комплексные числа аргумент комплексного числа
АргументКомплексные числа аргумент комплексного числа
ПримерыКомплексные числа аргумент комплексного числа
Расположение
числа  z
Положительная
мнимая
полуось
Знаки x и y

x = 0 ,

y > 0

Главное
значение
аргумента
Комплексные числа аргумент комплексного числа
Аргумент
Комплексные числа аргумент комплексного числа
ПримерыКомплексные числа аргумент комплексного числа
Расположение
числа  z
Второй
квадрант

 
Знаки x и y

x < 0 ,

y > 0

Главное
значение
аргумента
Комплексные числа аргумент комплексного числа
АргументКомплексные числа аргумент комплексного числа
ПримерыКомплексные числа аргумент комплексного числа
Расположение
числа  z
Отрицательная
вещественная
полуось
Знаки x и y

x < 0 ,

y = 0

Главное
значение
аргумента
π
Аргумент
φ = π + 2kπ
ПримерыКомплексные числа аргумент комплексного числа
Расположение
числа  z
Третий
квадрант

 
Знаки x и y

x < 0 ,

y < 0

Главное
значение
аргумента
Комплексные числа аргумент комплексного числа
АргументКомплексные числа аргумент комплексного числа
ПримерыКомплексные числа аргумент комплексного числа
Расположение
числа  z
Отрицательная
мнимая
полуось
Знаки x и y

x = 0 ,

y < 0

Главное
значение
аргумента
Комплексные числа аргумент комплексного числа
Аргумент
Комплексные числа аргумент комплексного числа
ПримерыКомплексные числа аргумент комплексного числа
Расположение
числа  z
Четвёртый
квадрант

 
Знаки x и y

x < 0 ,

y < 0

Главное
значение
аргумента
Комплексные числа аргумент комплексного числа
АргументКомплексные числа аргумент комплексного числа
ПримерыКомплексные числа аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

      Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде

z = r (cos φ + i sin φ) ,(5)

где   r  и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству   r > 0 .

      Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

      В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:

cos φ + i sin φ = e iφ .(6)

      Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде

z = r e iφ ,(7)

где   r  и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству   r > 0 .

      Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа.

      Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

Комплексные числа формула Эйлера экспоненциальная форма записи комплексного числа
Комплексные числа формула Эйлера экспоненциальная форма записи комплексного числа

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

cos φ + i sin φ,

или, что то же самое, числа   e iφ,   при любом значении φ равен 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

      Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

      Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме и Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень  комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме

      Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

      При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

      Возведение комплексного числа  z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Комплексные числа умножение деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел записанных в экспоненциальной форме

      Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Пусть Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа- произвольное комплексное число, отличное от нуля.

      Корнем   n - ой степени из числа  z0 , где Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа называют такое комплексное число   z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z0 .(8)

      Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где  k  - произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

следствием которых являются равенства

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа(9)

      Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет   n   различных корней

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа(10)

где

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов   zk   при   k = 0 , ... , n – 1   располагаются в вершинах правильного   n - угольника, вписанного в окружность радиуса Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа с центром в начале координат.

      Замечание. В случае   n = 2   уравнение (8) имеет два различных корня    z1 и z2 , отличающихся знаком:

z2 = – z1 .

      Пример 1. Найти все корни уравнения

z3 = – 8i .

      Решение. Поскольку

Комплексные числа извлечение корня  натуральной степени из комплексного числа

то по формуле (10) получаем:

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Следовательно,

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Пример 2. Решить уравнение

z2 + 2z + 2 = 0 .

      Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Так как

Комплексные числа извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

то решения уравнения имеют вид

z1 = – 1 + i ,       z2 = – 1 – i .

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Комплексные числа действия с комплексными числамиподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Комплексные числа действия с комплексными числамииндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования