Mосква, Северо-восток
Справочник по математикегеометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры вычисление длины дуги кривой вычисление площади поверхности тела вращения вычисление объема тела вычисление объема тела вращения формулы примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды вывод формулы объема шара вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферыЭлементы математического анализагеометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры вычисление длины дуги кривой вычисление площади поверхности тела вращения вычисление объема тела вычисление объема тела вращения формулы примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды вывод формулы объема шара вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферыИнтегралы

Геометрические приложения определенного интеграла

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры вычисление длины дуги кривой вычисление площади поверхности тела вращения вычисление объема тела вычисление объема тела вращения формулыФормулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла
геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры примеры решения задачПримеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости
геометрические приложения определенного интеграла вычисление длины дуги кривой примеры решения задачПример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости
геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела вычисление объема тела вращения примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды вывод формулы объема шараВывод формул для объема пирамиды и для объема шара
геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади поверхности тела вращения примеры решения задач вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферыВывод формулы для площади сферы

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры вычисление длины дуги кривой вычисление площади поверхности тела вращения вычисление объема тела вычисление объема тела вращения формулы примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды вывод формулы объема шара вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферы

Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла

      В данном разделе справочника приведена таблица, содержащая формулы, с помощью котрых можно вычислить:

  1. Площади криволинейных трапеций различного вида (площади фигур, ограниченных графиками функций);

  2. Длины дуг кривых на плоскости;

  3. Объемы тел, если известны площади их поперечных сечений;

  4. Объемы тел, полученных при вращении криволинейных трапеций вокруг оси абсцисс   Ox ;

  5. Площади поверхностей тел, полученных при вращении графиков функций вокруг оси абсцисс   Ox.

Рисунок Формула Описание
геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры формулыгеометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры формулы

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции

y = f (x),   f (x) > 0,

a < x < b,

снизу – осью   Ox ,
а с боков – отрезками прямых

  x = a   и   x =b .

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры формулыгеометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры формулы

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью   Ox , снизу – графиком функции

y = f (x),   f (x) < 0,

  a < x < b,

а с боков – отрезками прямых

x = a   и   x =b .

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры формулыгеометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры формулы

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции

y = f (x),  

  a < x < b,

снизу – графиком функции

y = g (x),   g (x) < f (x),

  a < x < b,

снизу – осью   Ox ,
а с боков – отрезками прямых

  x = a   и   x =b .

геометрические приложения определенного интеграла вычисление длины дуги кривой формулыгеометрические приложения определенного интеграла вычисление длины дуги кривой формулы

Длина дуги графика функции

y = f (x),  

  a < x < b

(длина дуги кривой на плоскости)

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела формулы

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела формулы

Объем тела в случае, когда известны площади поперечных сечений этого тела

  S (x)геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела формулы.

Плоскость каждого поперечного сечения перпендикулярна оси   Ox

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела формулы

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела формулы

Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции

y = f (x),   f (x) > 0,

a < x < b,

снизу – осью   Ox ,
а с боков – отрезками прямых

  x = a   и   x =b ,

вокруг оси   Ox

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади поверхности тела формулы

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади поверхности тела формулы

Площадь поверхности тела, полученного при вращении графика функции

y = f (x),   f (x) > 0,

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела формулы,

вокруг оси   Ox

      Применение формул, перечисленных в таблице, проиллюстрировано на примерах, содержащих, в частности, вывод формулы объема пирамиды, формул объема шара и площади сферы.

Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости

      Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры примеры решения задач

      Решение. Рассматриваемая фигура (рис. 1) состоит из двух частей: треугольника   OAB   и криволинейной трапеции   ABCD.

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры примеры решения задач

Рис.1

      Дважды применим формулу для площади криволинейной трапеции с   f (x) > 0, а затем вычислим полученные интегралы с помощью таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона - Лейбница:

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры примеры решения задач.

      Ответ. 3.

      Пример 2. Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры примеры решения задач

Рис.2

      Решение. Площадь криволинейной трапеции   ABCD   вычисляется с помощью формулы для площади криволинейной трапеции с   f (x) < 0:

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры примеры решения задач.

      Воcпользовавшись таблицей неопределенных интегралов и формулой Ньютона - Лейбница, находим

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры примеры решения задач.

      Ответ. геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры примеры решения задач.

Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости

      Пример 3 . Найти длину дуги графика функции

геометрические приложения определенного интеграла вычисление длины дуги кривой примеры решения задач,   8 < x < 15 .

      Решение. График рассматриваемой функции изображен на рисунке 3

геометрические приложения определенного интеграла вычисление длины дуги кривой примеры решения задач

Рис.3

      Для вычисления длины дуги   AB   нужно, в соответствии с формулой для длины дуги графика функции, вычислить определенный интеграл

геометрические приложения определенного интеграла вычисление длины дуги кривой примеры решения задач(1)

      Воспользовавшись свойствами степеней и таблицей производных, находим

геометрические приложения определенного интеграла вычисление длины дуги кривой примеры решения задач

      Подставим найденную производную в формулу (1), а затем вычислим полученные интегралы при помощи таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона - Лейбница:

геометрические приложения определенного интеграла вычисление длины дуги кривой примеры решения задач

      Ответ. геометрические приложения определенного интеграла вычисление длины дуги кривой примеры решения задач

Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара

      Пример 4. Вывести формулу для объема пирамиды, воспользовавшись формулой для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений.

      Решение. Рассмотрим произвольную n - угольную пирамиду   BA1A2 ... An   с вершиной   B,   высота   BK   которой равна   H,   а площадь основания   A1A2 ... An   равна   S.   Обозначим через   S (x)   площадь сечениягеометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела примеры решения задач  вывод формулы объема пирамиды этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию пирамиды и находящейся на расстоянии   x   от вершины пирамиды   B   (рис. 4).

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды

Рис.4

      Поскольку многоугольникигеометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела примеры решения задач и   A1A2 ... An   подобны с коэффициентом подобия геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела примеры решения задач, то площади этих многоугольников удовлетворяют равенству

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды (2)

      Рассмотрим теперь в пространстве систему координат   Oxyz   и расположим нашу пирамиду   BA1A2 ... An   так, чтобы ее вершина   B   совпала с началом координат   O,   а высота пирамиды   BK  оказалась лежащей на оси   Ox   (рис. 5).

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды

Рис.5

      Тогда сечение геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды пирамиды и будет поперечным сечением, поскольку его плоскость перпендикулярна оси   Ox.

      Воспользовавшись формулой, позволяющей вычислить объем тела по известным площадям поперечных сечений, получаем

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды

      Далее при помощи таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона - Лейбница находим

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды

      Итак, мы получили формулу для объема пирамиды

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды

котрой пользовались в различных разделах справочника.

      Замечание. Совершенно аналогично выводится формула для объема конуса. Формулы для объема прямой призмы и для объема цилиндра вывести таким способом еще проще, поскольку у них все сечения, перпендикулярные высоте, равны между собой. Мы рекомендуем провести эти выводы читателю самостоятельно в качестве полезного упражнения.

      Пример 5. Вывести формулу для объема шара радиуса   R,   воспользовавшись формулой для вычисления объема тела вращения.

      Решение. Рассмотрим функцию

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела вращения примеры решения задач вывод формулы объема шара (3)

графиком которой является верхняя полуокружность радиуса   R   с центром в начале координат   O.   Шар радиуса   R   получается в результате вращения вокруг оси   Ox   криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции (3) и ограниченной снизу отрезкомгеометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела вращения примеры решения задач вывод формулы объема шараоси   Ox   (рис. 6).

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела вращения примеры решения задач вывод формулы объема шара

Рис.6

      В соответствии с формулой для вычисления объема тела вращения получаем

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела вращения примеры решения задач вывод формулы объема шара

      Далее при помощи таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона - Лейбница находим

геометрические приложения определенного интеграла вычисление объема тела вращения примеры решения задач вывод формулы объема шара,

что и должно было получиться.

Вывод формулы для площади сферы

      Пример 6. Вывести формулу для площади сферы радиуса   R,   воспользовавшись формулой для вычисления площади поверхности тела вращения.

      Решение. Снова рассмотрим функцию

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади поверхности тела вращения примеры решения задач вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферы(4)

графиком которой является верхняя полуокружность радиуса   R   с центром в начале координат   O  (рис. 7).

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади поверхности тела вращения примеры решения задач вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферы

Рис.7

Поскольку сфера радиуса   R   получается в результате вращения вокруг оси   Ox   графика функции (4), то в соответствии с формулой для вычисления площади поверхности тела вращения получаем

ггеометрические приложения определенного интеграла вычисление площади поверхности тела вращения примеры решения задач вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферы

      Воспользовавшись свойствами степеней,таблицей производных сложных функций и таблицей производных часто встречающихся функций, находим

ггеометрические приложения определенного интеграла вычисление площади поверхности тела вращения примеры решения задач вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферы

      Подставим найденную производную в выражение, стоящее под знаком квадратного корня:

ггеометрические приложения определенного интеграла вычисление площади поверхности тела вращения примеры решения задач вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферы

      Таким образом, подынтегральная функция принимает вид:

ггеометрические приложения определенного интеграла вычисление площади поверхности тела вращения примеры решения задач вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферы

      Далее с помощью таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона - Лейбница получаем

ггеометрические приложения определенного интеграла вычисление площади поверхности тела вращения примеры решения задач вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферы

что и должно было получиться.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры вычисление длины дуги кривой вычисление площади поверхности тела вращения вычисление объема тела вычисление объема тела вращения формулы примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды вывод формулы объема шара вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферыподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

геометрические приложения определенного интеграла вычисление площади фигуры вычисление длины дуги кривой вычисление площади поверхности тела вращения вычисление объема тела вычисление объема тела вращения формулы примеры решения задач вывод формулы объема пирамиды вывод формулы объема шара вывод формулы площади поверхности шара вывод формулы площади сферыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ




Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ




Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования