e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд



НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников


Проблемы
с математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Числовая ось декартова система координат координаты точки абсцисса ордината формула расстояния между точками уравнение окружностиЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Числовая ось декартова система координат координаты точки абсцисса ордината формула расстояния между точками уравнение окружностиОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Числовая ось декартова система координат координаты точки абсцисса ордината формула расстояния между точками уравнение окружностиЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Числовая ось декартова система координат координаты точки абсцисса ордината формула расстояния между точками уравнение окружностиОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Числовая ось декартова система координат координаты точки абсцисса ордината формула расстояния между точками уравнение окружностиТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Числовая ось декартова система координат координаты точки абсцисса ордината формула расстояния между точками уравнение окружностиОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеЧисловая ось декартова система координат координаты точки абсцисса ордината формула расстояния между точками уравнение окружностиАлгебраЭлектронный справочник по математике для школьников алгебраКоординатная плоскость

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Электронный справочник по математике для школьников алгебра числовая осьЧисловая ось
Электронный справочник по математике для школьников алгебра прямоугольная декартова система координат на плоскостиПрямоугольная декартова система координат на плоскости
Электронный справочник по математике для школьников алгебра формула для расстояния между двумя точками координатной плоскостиФормула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Электронный справочник по математике для школьников алгебра уравнение окружности на координатной плоскостиУравнение окружности на координатной плоскости

Электронный справочник по математике для школьников алгебра Декартовы координаты на плоскости уравнение окружности числовая ось прямоугольная система координат расстояние между точками

Числовая ось

      Определение 1. Числовой осью (числовой прямой, координатной прямой)   Ox   называют прямую линию, на которой точка   O   выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

O x

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Числовая ось

Рис.1

      Определение 2. Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом.

      Каждая точка числовой оси имеет координату, являющуюся вещественным числом. Координата точки   O   равна нулю. Координата произвольной точки   A ,   лежащей на луче   Ox ,   равна длине отрезка   OA .   Координата произвольной точки   A   числовой оси, не лежащей на луче   Ox ,   отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка   OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

      Определение 3. Прямоугольной декартовой системой координат   Oxy   на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси   Ox   и   Oy   с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке   O ,   причём таких, что поворот от луча   Ox   на угол   90°   до луча   Oy   осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Рис.2

      Замечание. Прямоугольную декартову систему координат   Oxy ,   изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат, в отличие от левых систем координат, в которых поворот луча   Ox   на угол   90°   до луча   Oy   осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

      Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат   Oxy ,   то каждая точка плоскости приобретёт две координатыабсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть   A   – произвольная точка плоскости. Опустим из точки   A   перпендикуляры   AA1   и   AA2   на прямые   Ox   и   Oy   соответственно (рис.3).

Прямоугольная декартова система координат на плоскости абсцисса ордината точки

Рис.3

      Определение 4. Абсциссой точки   A   называют координату точки   A1   на числовой оси   Ox ,   ординатой точки   A   называют координату точки   A2   на числовой оси   Oy .

      Обозначение. Координаты (абсциссу и ординату) точки   A   в прямоугольной декартовой системе координат   Oxy   (рис.4) принято обозначать   A (x ; y)   или   A = (x ; y).

Прямоугольная декартова система координат на плоскости координаты точки

Рис.4

      Замечание. Точка   O ,   называемая началом координат, имеет координаты   O (0 ; 0) .

      Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат   Oxy   числовую ось   Ox   называют осью абсцисс, а числовую ось   Oy   называют осью ординат (рис. 5).

      Определение 6. Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на   4   четверти (квадранта), нумерация которых показана на рисунке 5.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости четверти квадранты ось абсцисс ось ординат

Рис.5

      Определение 7. Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью.

      Замечание. Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением   y = 0 ,   ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением   x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

      Утверждение 1. Расстояние между двумя точками координатной плоскости

A1 (x1 ; y1)   и   A2 (x2 ; y2)

вычисляется по формуле

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Прямоугольная декартова система  координат на плоскости четверти квадранты ось абсцисс ось ординат

Рис.6

      Поскольку в прямоугольном треугольнике   A1A2B   длина катета   A1B   равна   | x2 x1| ,   а длина катета   A2B   равна   | y2 y1| ,   то по теореме Пифагора

| A1A2|2 = ( x2 x1)2 + ( y2 y1)2 . (1)

     Следовательно,

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости,

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

      Рассмотрим на координатной плоскости   Oxy   (рис. 7) окружность радиуса   R   с центром в точке  
A0 (x0 ; y0) .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости четверти квадранты ось абсцисс ось ординат

Рис.7

      Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

( x – x0)2 + ( y – y0)2 = R2.

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса   R   с центром в точке   A0 (x0 ; y0) .

      Следствие. Уравнение окружности радиуса   R   с центром в начале координат имеет вид

x2 + y2 = R2.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Числовая ось декартова система координат координаты точки абсцисса ордината формула расстояния между точками уравнение окружностиподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов
Числовая ось декартова система координат координаты точки абсцисса ордината формула расстояния между точками уравнение окружностииндивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования