Справочник по математике

Алгебра

Координатная плоскость

Декартовы координаты точек в пространстве

      Определения координатной (числовой) прямой и координатной плоскости даны в разделе нашего справочника«Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности»

      Настоящий раздел посвящен введению прямоугольных декартовых координат точек в пространстве.

      Определение 1. Прямоугольной декартовой системой координат   Oxyz   в пространстве называют три числовых прямых   Ox ,   Oy ,   Oz   в пространстве, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Прямые пересекаются в одной точке (точка   O ), которую называют началом координат.
2. Точка   O   является началом координат на каждой из числовых прямых   Ox ,   Oy ,   Oz .
3. Прямые   Ox ,   Oy ,   Oz   попарно перпендикулярны.
4. На прямых   Ox ,   Oy ,   Oz   выбран одинаковый масштаб.

      Различают правые и левые прямоугольные декартовы системы координат в пространстве.

      Определение 2. Прямоугольную декартову систему координат   Oxyz   в пространстве называют правой системой, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Прямые (оси)   Ox   и   Oy   образуют правую систему координат на плоскости   Oxy .
2. Прямая (ось)   Oz   направлена так, что, наблюдая со стороны положительного направления оси   Oz,   мы видим, что поворот от положительного направления оси   Ox   до положительного направления оси   Oy ,   осуществленный против часовой стрелки, является поворотом на угол   90°.

      Определение 3. Левой прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называют такую прямоугольную декартову систему координат в пространстве, которая не является правой прямоугольной декартовой системой координат.

      Правые прямоугольные декартовы системы координат обычно изображают так, как показано на рисунках 1.

Рис.1

      Левые системы координат используются очень редко.

      Рассмотрим какую-нибудь правую прямоугольную декартову систему координат   Oxyz   в пространстве. Тогда положение произвольной точки   P   в пространстве (рис.2) будет определяться тремя координатами   x ,  y ,  z ,   которые вычисляются по следующему правилу.

Рис.2

      Проведем через точку   P   плоскость, параллельную плоскости   Oyz ,   и обозначим символом   P₁   точку пересечения этой плоскости с прямой   Ox   (рис.2). Координатой   x   точки   P   служит координата точки   P₁   на числовой прямой   Ox .

      Проведем через точку   P   плоскость, параллельную плоскости   Oxz ,   и обозначим символом   P₂   точку пересечения этой плоскости с прямой   Oy   (рис.2). Координатой   y   точки   P   служит координата точки   P₂   на числовой прямой   Oy .

      Проведем через точку   P   плоскость, параллельную плоскости   Oxy ,   и обозначим символом   P₃   точку пересечения этой плоскости с прямой   Oz   (рис.2). Координатой   z   точки   P   служит координата точки   P₃   на числовой прямой   Oz .

      Координаты точки   P   принято обозначать так:

P = (x ; y ; z)

      Оси правой прямоугольной декартовой системы координат   Ox ,   Oy ,   Oz   называют осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат соответственно.

      Координаты   x ,  y ,  z   точки   P   называют абсциссой, ординатой и аппликатой точки   P   соответственно.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.