e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд




НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ




Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задачТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задачГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задачЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задачПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задачЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задачЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач ЕГЭ супертренинг. Математика. Тематические тренировочные задания. Уровень В, С. - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач Алгебра Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач Системы уравнений

Системы с нелинейными уравнениями

нелинейные уравнения с двумя неизвестными примеры решения задач Нелинейные уравнения с двумя неизвестными
Системы нелинейных уравнений примеры решения задач Системы из двух уравнений, одно из которых линейное
однородные уравнения второй степени примеры решения задач Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными
Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач Системы из двух уравнений, одно из которых однородное
Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное
Системы нелинейных уравнений примеры решения задач Примеры решения систем уравнений других видов

Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

      Определение 1. Пусть   A   – некоторое множество пар чисел   (x ; y) .   Говорят, что на множестве   A   задана числовая функция   z   от двух переменных   x   и   y ,   если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества   A   ставится в соответствие некоторое число.

      Задание числовой функции   z   от двух переменных   x   и   y   часто обозначают так:

z = f (x , y) , (1)

причем в  записи (1) числа   x   и   y   называют аргументами функции, а число   z   – значением функции, соответствующим паре аргументов   (x ; y) .  

      Определение 2. Нелинейным уравнением с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

f (x , y) = 0 , (2)

где   f (x , y)   – любая функция, отличная от функции

f (x , y) = ax +by + c ,

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 3. Решением уравнения (2) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (2) является верным равенством.

      Пример 1. Решить уравнение

x2 – 4xy + 6y2 – 12 y +18 = 0 . (3)

      Решение. Преобразуем левую часть уравнения (3):

x2 – 4xy + 6y2 – 12 y +18 = (x2 – 4xy + 4y2) + (2y2– 12y +18) = (x – 2y)2 + 2(y – 3)2 .

      Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

(x – 2y)2 + 2(y – 3)2 = 0 . (4)

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные   x   и   y   удовлетворяют системе уравнений

нелинейные уравнения с двумя неизвестными примеры решения задач

решением которой служит пара чисел   (6 ; 3) .

      Ответ:   (6 ; 3)

      Пример 2. Решить уравнение

sin (xy) = 2 . (5)

      Решение. Из неравенства

нелинейные уравнения с двумя неизвестными примеры решения задач

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

      Ответ: Решений нет.

      Пример 3. Решить уравнение

ln (x – y) = 0 . (6)

      Решение. В соответствии с определением логарифма из формулы (6) получаем

нелинейные уравнения с двумя неизвестными примеры решения задач

      Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y) ,

где   y    – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

      Определение 4. Решением системы уравнений

Системы нелинейных уравнений

называют пару чисел   (x ; y) ,   при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

      Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

Системы нелинейных уравнений

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .  

      Пример 4. Решить систему уравнений

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач (7)

      Решение. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное   y   через неизвестное   x   и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Решая уравнение

x2 – 8x – 9 = 0 ,

находим корни

x1 = – 1 ,   x2 = 9 .

      Следовательно,

y1 = 8 – x1 = 9 ,   y2 = 8 – x2 = – 1 .

      Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач и     Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Ответ:   (– 1 ; 9) ,   (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

      Определение 5. Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

ax2 + bxy + cy2 = 0 .

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Пример 5. Решить уравнение

3x2 – 8xy + 5y2 = 0 . (8)

      Решение. Для каждого значения   y   рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного   x .   Тогда дискриминант   D   квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

D = (8y)2 – 60y2 = 4y2 ,

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Ответ. Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y)   или     Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

где   y   – любое число.

      Следствие. Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

      Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .

      Пример 6. Решить систему уравнений

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач (9)

      Решение. Решим однородное уравнение

3x2 + 2xyy2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач.

      В случае, когда   x = – y ,   из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

4y2 = 16 ,

корнями которого служат числа   y1 = 2 ,   y2 = – 2 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2) .

      В случае, когда

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач,

которое корней не имеет.

      Ответ:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

      Пример 7. Решить систему уравнений

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач (10)

      Решение. Совершим над системой (10) следующие преобразования:

  • второе уравнение системы оставим без изменений;
  • к первому уравнению, умноженному на   5 ,   прибавим второе уравнение, умноженное на   3 ,   и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

      В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач (11)

     Решим однородное уравнение

3x2 + 17xy + 10y2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач.

      В случае, когда   x = – 5y ,   из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

5y2 = – 20 ,

которое корней не имеет.

      В случае, когда

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

Системы нелинейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач,

корнями которого служат числа   y1 = 3 ,   y2 = – 3 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3) .

      Ответ:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

      Пример 8. Решить систему уравнений (МФТИ)

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач (12)

      Решение. Введем новые неизвестные   u   и   v ,   которые выражаются через   x   и   y   по формулам:

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач (13)

      Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные   x   и   y   через   u   и   v .   Из системы (13) следует, что

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач (14)

      Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную   x .   С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

из которой находим

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач (15)

      Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач (16)

      У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   u   через неизвестное   v   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Решая уравнение

2v2 + 3v – 14 = 0 ,

находим корни

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Из формул (13) вытекает, что   Системы нелинейных уравнений примеры решения задач,  поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае   u2 = 5,   v2 = 2   из формул (15) находим значения   x   и   y :

x = 13,   y = – 3 .

      Ответ:   (13 ; – 3)

      Определение 6. Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

      Пример 9. Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач (17)

      Решение. У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   z   через неизвестные   x   и   y   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач (18)

      Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае   x = 4,   y = 4 .  

      Следовательно,

Системы нелинейных уравнений примеры решения задач

      Ответ:   (4 ; 4 ; – 4)

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Системы нелинейных уравнений нелинейные уравнения с двумя неизвестными однородные уравнения второй степени примеры решения задач индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования