Mосква, Северо-восток

Системы линейных уравнений

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестнымиЛинейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными
системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системыСистемы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестнымиСистемы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

      Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение, имеющее вид

ax +by = c ,(1)

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел   (y) ,   для которых формула (1) является верным равенством.

      Пример 1. Найти решение уравнения

2x +3y = 10(2)

      Решение. Выразим из равенства (2) переменную   y   через переменную   x :

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными(3)

      Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

где   x   – любое число.

      Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел   (y  является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число   x   можно взять любым, а число   y   после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

      Определение 3. Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными   x   и   y   называют систему уравнений, имеющую вид

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(4)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2   – заданные числа.

      Определение 4. В системе уравнений (4) числа   a1 ,  b1 a2 ,  b2   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   c1 ,  c2  – свободными членами.

      Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел   (y) ,   являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

      Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

      Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы»

      Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.

      Пример 2 . Решить систему уравнений

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(5)

      Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное   х.

      С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном   x   в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

      Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при   x   во втором уравнении (число   7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при   x   в первом уравнении (число   2 ), то система (5) примет вид

 

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(6)

      Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Из второго уравнения находим   y = 3 ,   и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Ответ.   (–2 ; 3) .

      Пример 3. Найти все значения параметра   p ,   при которых система уравнений

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(7)

      а) имеет единственное решение;

      б) имеет бесконечно много решений;

      в) не имеет решений.

      Решение. Выражая   x   через   y   из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо   x   в первое уравнение системы (7), получим

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными
линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными
линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными
линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Следовательно, система (7) равносильна системе

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы(8)

      Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра   p .   Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

y (2 – p) (2 + p) = 2 + p(9)

      Если   системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы,   то уравнение (9) имеет единственное решение

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Следовательно, система (8) равносильна системе

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Таким образом, в случае, когда   системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы,   система (7) имеет единственное решение

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Если   p = – 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными,

и его решением является любое число линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными. Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными,

где   y   – любое число.

      Если   p = 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Определение 7. Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными   x ,   y     и   z   называют систему уравнений, имеющую вид

коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(10)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  d1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  d2 ,  a3 ,  b3 ,  c3 ,  d3   – заданные числа.

      Определение 8. В системе уравнений (10) числа   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  a3 ,  b3 ,  c3   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   d1 ,  d2 ,  d3   – свободными членами.

      Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел   (y ; z) ,   при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

      Пример 4 . Решить систему уравнений

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(11)

      Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.

      Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное   y ,  совершив над системой (11) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
  • из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(12)

      Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное   x ,  совершив над системой (12) следующие преобразования:

  • первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
  • из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(13)

      Из системы (13) последовательно находим

z = – 2 ;   x = 1 ;   y = 2 .

      Ответ.   (1 ; 2 ; –2) .

      Пример 5. Решить систему уравнений

коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными(14)

      Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
(15)

      Если числа   (y ; z)   являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа   (y ; z)   должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

коэффициенты при неизвестных свободные члены равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел   (3 ; 0 ; –1)   в исходную систему (14), убеждаемся, что числа   (3 ; 0 ; –1)   действительно являются ее решением.

      Ответ:   (3 ; 0 ; –1) .

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестнымиподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестнымииндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика