e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд




НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестнымиЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестнымиТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными Алгебра линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными Системы уравнений

Системы линейных уравнений

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными
системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными

      Определение 1. Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение, имеющее вид

ax +by = c , (1)

где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 2. Решением уравнения (1) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (1) является верным равенством.

      Пример 1. Найти решение уравнения

2x +3y = 10 (2)

      Решение. Выразим из равенства (2) переменную   y   через переменную   x :  

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными (3)

      Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

где   x   – любое число.

      Замечание. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений. Однако важно отметить, что не любая пара чисел   (x ; y)  является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число   x   можно взять любым, а число   y   после этого вычислить по формуле (3).

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

      Определение 3. Системой из двух линейных уравнений  с двумя неизвестными   x   и   y   называют систему уравнений, имеющую вид

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы (4)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2   – заданные числа.

      Определение 4. В системе уравнений (4) числа   a1 ,  b1 a2 ,  b2   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   c1 ,  c2  – свободными членами.

      Определение 5. Решением системы уравнений (4) называют пару чисел   (x ; y) ,   являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).

      Определение 6. Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными), если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.

      Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы»

      Системы линейных уравнений решают с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который мы проиллюстрируем на примерах.

      Пример 2 . Решить систему уравнений

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы (5)

      Решение. Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное   х.

      С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном   x   в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.

      Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при   x   во втором уравнении (число   7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при   x   в первом уравнении (число   2 ), то система (5) примет вид

 

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы (6)

      Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Из второго уравнения находим   y = 3 ,   и, подставив это значение в первое уравнение, получаем

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Ответ.   (–2 ; 3) .

      Пример 3 . Найти все значения параметра   p ,   при которых система уравнений

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы (7)

      а)  имеет единственное решение;

      б)  имеет бесконечно много решений;

      в)  не имеет решений.

      Решение. Выражая   x   через   y   из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо   x   в первое уравнение системы (7), получим

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Следовательно, система (7) равносильна системе

системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы (8)

      Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра   p .   Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):

y (2 – p) (2 + p) = 2 + p (9)

      Если   системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы,   то уравнение (9) имеет единственное решение

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Следовательно, система (8) равносильна системе

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Таким образом, в случае, когда   системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы,   система (7) имеет единственное решение

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

      Если   p = – 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными,

и его решением является любое число линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными. Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными,

где   y   – любое число.

      Если   p = 2 ,   то уравнение (9) принимает вид

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными

и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет.

Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Определение 7. Системой из трех линейных уравнений  с тремя неизвестными   x ,   y     и   z   называют систему уравнений, имеющую вид

коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными (10)

где   a1 ,  b1 ,  c1 ,  d1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  d2 ,  a3 ,  b3 ,  c3 ,  d3   – заданные числа.

      Определение 8. В системе уравнений (10) числа   a1 ,  b1 ,  c1 ,  a2 ,  b2 ,  c2 ,  a3 ,  b3 ,  c3   называют коэффициентами при неизвестных, а числа   d1 ,  d2 ,  d3   – свободными членами.

      Определение 9. Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.

      Пример 4 . Решить систему уравнений

коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными (11)

      Решение. Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных.

      Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное   y ,  совершив над системой (11) следующие преобразования:

  • первое уравнение системы оставим без изменений;
  • ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
  • из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему

коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными (12)

      Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное   x ,  совершив над системой (12) следующие преобразования:

  • первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
  • из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.

      В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему

коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными (13)

      Из системы (13) последовательно находим

z = – 2 ;   x = 1 ;   y = 2 .

      Ответ.   (1 ; 2 ; –2) .

      Пример 5. Решить систему уравнений

коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными (14)

      Решение. Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие, сложив все три уравнения системы:

коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными (15)

      Если числа   (x ; y ; z)   являются решением системы (14), то они должны удовлетворять и уравнению (15). Однако в таком случае числа   (x ; y ; z)   должны также быть решением системы, которая получается, если из каждого уравнения системы (14) вычесть уравнение (15):

коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными

      Поскольку мы использовали следствие из системы (14), не задумываясь о том, являются ли сделанные преобразования системы (14) равносильными, то полученный результат нужно проверить. Подставив тройку чисел   (3 ; 0 ; –1)   в исходную систему (14), убеждаемся, что числа   (3 ; 0 ; –1)   действительно являются ее решением.

      Ответ:   (3 ; 0 ; –1) .

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы с нелинейными уравнениями» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

линейные уравнения с двумя неизвестными уравнения первой степени с двумя неизвестными системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными коэффициенты при неизвестных свободные члены  равносильные системы системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования