Mосква, Северо-восток

Возвратные последовательности:
рекуррентная формула, характеристическое уравнение

Справочник по математике для школьников алгебра определение возвратной последовательностиОпределение возвратной последовательности
Справочник по математике для школьников алгебра возвратные последовательности характеристическое уравнениеХарактеристическое уравнение
Справочник по математике для школьников алгебра общее решение рекуррентного уравнения второго порядкаОбщее решение рекуррентного уравнения 2-го порядка
Справочник по математике для школьников алгебра схема вывода формулы общего члена возвратной последовательности второго порядкаСхема вывода формулы общего члена возвратной последовательности второго порядка
Справочник по математике для школьников алгебра возвратные последовательности примеры с решениямиПримеры с решениями
Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка вывод формулы общего члена примеры решения

Определение возвратной последовательности

      Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью формулы общего члена последовательности и с помощью рекуррентной формулы.

      Например, геометрическую прогрессию

x1 ,  x2 , … xn , …

можно задать, как с помощью формулы общего члена

xn = b1q n – 1,       n = 1, 2, 3, … ,

так и с помощью рекуррентной формулы

x1 = b1;      xn = q xn – 1,      n = 2, 3, …,

в каждой из которых символами b1 и q обозначены заданные числа – первый член и знаменатель прогрессии.

      Определение. Пусть k – натуральное число. Возвратной (рекуррентной) последовательностью порядка k называют последовательность, для задания которой требуется задать первые её k членов, т.е. числа

x1 ,  x2 , … xk ,

а остальные члены последовательности определяются с помощью рекуррентной формулы (рекуррентного уравнения)

xn = q1 xn – 1 + q2 xn – 2 + … + qk xn – k ,       n > k ,

где

q1 ,  q2 , … qk ,

– заданные числа (коэффициенты рекуррентной формулы).

      Замечание 1. Числа

x1 ,  x2 , … xk ,

называют начальными условиями.

      Замечание 2. Для упрощения вычислений везде в дальнейшем будем рассматривать только случай возвратных последовательностей 2-го порядка, все члены которых являются вещественными числами.

      Для задания таких последовательностей требуется задать их первые два члена, то есть вещественные числа x1 и x2, а остальные члены последовательности

x1 ,  x2 , … xn , …

определяются с помощью рекуррентной формулы

xn = q1 xn – 1 + q2 xn – 2 ,     n > 2 ,(1)

где q1, q2 – заданные вещественные числа.

Характеристическое уравнение

      Для того, чтобы получить характеристическое уравнение возвратной последовательности (1), будем искать такие числа λ, при которых последовательность вида

xn n(2)

удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      Поскольку

xn – 1 = λn – 1 ,       xn – 2 = λn – 2 ,(3)

то при подстановке формул (2) и (3) в формулу (1) возникает уравнение

λn = q1 λn – 1 + q2 λn – 2 ,

которое удобно переписать в виде

λnq1 λn – 1q2 λn – 2 = 0 .(4)

      Если теперь уравнение (4) разделить на λn–2, то мы получим квадратное уравнение относительно  λ   вида:

λ2 q1 λ – q2 = 0 ,

которое и называют характеристическим уравнением.

Общее решение рекуррентного уравнения второго порядка

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня  λ1 и  λ2 , каждая из последовательностей

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка и Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c1 и c2 последовательность с общим членом

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      Числа c1 и c2 называют произвольными постоянными.

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два совпавших вещественных корня  λ1 = λ2, непосредственная проверка показывает, что каждая из последовательностей

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка и Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c1 и c2 последовательность с общим членом

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня   λ1, 2 = α ± i β,  каждая из последовательностей

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка
Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

и

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка
Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c1 и c2 последовательность с общим членом

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

      Ряд примеров, в которых выводятся формулы общего члена возвратных последовательностей, разобран в разделе «Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена» нашего справочника.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядкаподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд



НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования