e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд




НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по физике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"




Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка Алгебра Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка Последовательности чисел

Возвратные последовательности:
рекуррентная формула, характеристическое уравнение

Определение возвратной последовательности

      Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью формулы общего члена  последовательности и с помощью рекуррентной формулы.

      Например, геометрическую прогрессию

x1 ,  x2 , … xn , …

можно задать, как с помощью формулы общего члена

xn = b1q n – 1,       n = 1, 2, 3, … ,

так и с помощью рекуррентной формулы

x1 = b1;       xn = q xn – 1,       n = 2, 3, … ,

в каждой из которых символами b1 и q обозначены заданные числа – первый член и знаменатель прогрессии.

      Определение. Пусть k – натуральное число. Возвратной (рекуррентной) последовательностью порядка k называют последовательность, для задания которой требуется задать первые её k членов, т.е. числа

x1 ,  x2 , … xk ,

а остальные члены  последовательности определяются с помощью рекуррентной формулы (рекуррентного уравнения)

xn = q1 xn – 1 + q2 xn – 2 + … + qk xn – k ,       n > k ,

где

q1 ,  q2 , … qk ,

– заданные числа (коэффициенты рекуррентной формулы).

      Замечание 1. Числа

x1 ,  x2 , … xk ,

называют начальными условиями.

      Замечание 2. Для упрощения вычислений везде в дальнейшем будем рассматривать только случай возвратных последовательностей 2-го порядка, все члены которых являются вещественными числами.

      Для задания таких  последовательностей требуется задать их первые два члена, то есть вещественные числа x1 и x2, а остальные члены  последовательности

x1 ,  x2 , … xn , …

определяются с помощью рекуррентной формулы

xn = q1 xn – 1 + q2 xn – 2 ,       n > 2 , (1)

где q1, q2 – заданные вещественные числа.

Характеристическое уравнение

      Для того, чтобы получить характеристическое уравнение возвратной последовательности (1), будем искать такие числа λ, при которых последовательность вида

xn n (2)

удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      Поскольку

xn – 1 = λn – 1 ,       xn – 2 = λn – 2 , (3)

то при подстановке формул (2) и (3) в формулу (1) возникает уравнение

λn = q1 λn – 1 + q2 λn – 2 ,

которое удобно переписать в виде

λn q1 λn – 1q2 λn – 2 = 0 . (4)

      Если теперь уравнение (4) разделить на λn–2, то мы получим квадратное уравнение относительно  λ  вида:

λ2 q1 λ – q2 = 0 ,

которое и называют характеристическим уравнением.

Общее решение рекуррентного уравнения второго порядка

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня  λ1 и  λ2 , каждая из последовательностей

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка и Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c1 и c2 последовательность с общим членом

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      Числа c1 и c2 называют произвольными постоянными.

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два совпавших вещественных корня  λ1 = λ2, непосредственная проверка показывает, что каждая из последовательностей

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка и Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c1 и c2 последовательность с общим членом

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня   λ1, 2 = α ± i β,  каждая из последовательностей

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

и

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c1 и c2 последовательность с общим членом

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

      Ряд примеров, в которых выводятся формулы общего члена возвратных последовательностей, разобран в разделе «Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена» нашего справочника.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования