Mосква, Северо-восток
Справочник по математикеВозвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решенияАлгебраВозвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решенияПоследовательности чисел

Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена

Справочник по математике для школьников алгебра определение возвратной последовательностиОпределение возвратной последовательности
Справочник по математике для школьников алгебра возвратные последовательности характеристическое уравнениеХарактеристическое уравнение
Справочник по математике для школьников алгебра общее решение рекуррентного уравнения второго порядкаОбщее решение рекуррентного уравнения 2-го порядка
Справочник по математике для школьников алгебра схема вывода формулы общего члена возвратной последовательности второго порядкаСхема вывода формулы общего члена возвратной последовательности второго порядка
Справочник по математике для школьников алгебра возвратные последовательности примеры с решениямиПримеры с решениями

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка вывод формулы общего члена примеры решения

Схема вывода формулы общего члена возвратной последовательности второго порядка

      Определения возвратной последовательности, рекуррентной формулы, характеристического уравнения и формулы для общего решения рекуррентных уравнений приведены в разделе «Возвратные последовательности: рекуррентная формула, характеристическое уравнение» нашего справочника.

    Целью данного раздела является получение формулы общего члена возвратной последовательности второго порядка. Вывод этой формулы состоит из 5 этапов:

  1. Вычисление корней характеристического уравнения возвратной последовательности.

  2. Нахождение общего решения рекуррентного уравнения в случае, когда характеристическое уравнение имеет:

    • два различных вещественных корня,

    • два совпавших вещественных корня,

    • два комплексно сопряженных корня.

  3. Составление с помощью начальных условий системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными для нахождения двух произвольных постоянных.
  4. Решение системы уравнений для нахождения двух произвольных постоянных.

  5. Выписывание формулы общего члена возвратной последовательности

Примеры с решениями

      Пример 1. Найти формулу общего члена последовательности, заданной рекуррентной формулой

xn = 6 xn – 1 – 5 xn – 2 ,       n > 2 ,(1)

с начальными условиями

x1 = 2,       x2 = 1 .

(2)

      Решение. Будем действовать в соответствии со схемой.

  1. Характеристическое уравнение для последовательности (1) имеет вид

    λ2 – 6 λ + 5 = 0 .

    Найдем его корни:

    λ1 = 5 ,       λ2 = 1 .

  2. Поскольку корни характеристического уравнения вещественные и различные, то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

    где c1 и c2 – произвольные действительные числа.

  3. Найдем теперь значения произвольных постоянных c1 и c2 так, чтобы для последовательности

    xn = c15n + c2 (3)

    выполнялись начальные условия (2). Это означает, что числа c1 и c2 должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными :

  4. Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  5. Решим полученную систему уравнений:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  6. Подставляя найденные значения произвольных постоянны c1 и c2 в формулу (3), получаем искомую формулу общего члена последовательности:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

      Решение примера 1 закончено.

      Пример 2. Найти формулу общего члена  последовательности, заданной рекуррентной формулой

xn = 4 xn – 1 – 4 xn – 2 ,       n > 2 ,(4)

с начальными условиями

x1 = 1,       x2 = 3 .(5)

      Решение. Будем действовать в соответствии со схемой.

  1. Характеристическое уравнение для последовательности (4) имеет вид

    λ2 – 4 λ + 4 = 0 .

    Найдем его корни:

    λ1 = λ2 = 2 .

  2. Поскольку корни характеристического уравнения вещественны и равны между собой, то общее решение рекуррентного уравнения (4) имеет вид

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

    где c1 и c2 - произвольные вещественные числа.

  3. Найдем теперь значения произвольных постоянных c1 и c2 так, чтобы для последовательности

    xn = c12n + c2 n 2n (6)

    выполнялись начальные условия (5). Это означает, что числа c1 и c2 должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными :

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  4. Решим полученную систему уравнений:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  5. Подставляя найденные значения произвольных постоянных c1 и c2 в формулу (6), получаем искомую формулу общего члена последовательности:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

    которую удобно переписать в виде:

    xn = (1 + n) 2n – 2,       n = 1, 2, …

      Решение примера 2 закончено.

      Пример 3. Найти формулу общего члена  последовательности, заданной рекуррентной формулой

Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения(7)

с начальными условиями

Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения(8)

      Решение. Будем действовать в соответствии со схемой.

  1. Характеристическое уравнение для этой последовательности имеет вид

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

    Найдем его корни:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  2. Поскольку характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня, то общее решение рекуррентного уравнения (7) имеет вид

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения,

    где c1 и c2 - произвольные вещественные числа.

  3. Найдем теперь значения произвольных постоянных c1 и c2 так, чтобы для последовательности

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения(9)

    выполнялись начальные условия (8). Это означает, что числа c1 и c2 должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными :

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  4. Для того, чтобы решить эту систему уравнений, перепишем её в следующем виде:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  5. Подставляя найденные значения произвольных постоянных c1 и c2 в формулу (9), получаем искомую формулу общего члена последовательности:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

      Решение примера 3 закончено.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решенияподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решенияиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования