e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решенияЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения Алгебра Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения Последовательности чисел

Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена

Схема вывода формулы общего члена возвратной последовательности второго порядка

      Определения возвратной последовательности, рекуррентной формулы, характеристического уравнения и формулы для общего решения рекуррентных уравнений приведены в разделе «Возвратные последовательности: рекуррентная формула, характеристическое уравнение» нашего справочника.

    Целью данного раздела является получение формулы общего члена возвратной последовательности второго порядка. Вывод этой формулы состоит из 5 этапов: 

  1. Вычисление корней  характеристического уравнения возвратной последовательности.

  2. Нахождение общего решения рекуррентного уравнения в случае, когда характеристическое уравнение имеет:

    • два различных вещественных корня,

    • два совпавших вещественных корня,

    • два комплексно сопряженных корня.

  3. Составление с помощью начальных условий системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными для нахождения двух произвольных постоянных.
  4. Решение системы уравнений для нахождения двух произвольных постоянных.

  5. Выписывание формулы общего члена  возвратной последовательности

Примеры с решениями

      Пример 1. Найти формулу общего члена  последовательности, заданной рекуррентной формулой

xn = 6 xn – 1 – 5 xn – 2 ,       n > 2 , (1)

с начальными условиями

x1 = 2,       x2 = 1 .

(2)

      Решение. Будем действовать в соответствии со схемой.

  1. Характеристическое уравнение для последовательности (1) имеет вид

    λ2 – 6 λ + 5 = 0 .

    Найдем его корни:

    λ1 = 5 ,       λ2 = 1 .

  2. Поскольку корни характеристического уравнения вещественные и различные, то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

    где c1 и c2 – произвольные действительные числа.

  3. Найдем теперь значения произвольных постоянных c1 и c2 так, чтобы для последовательности

    xn = c15n + c2 (3)

    выполнялись начальные условия (2). Это означает, что числа c1 и c2 должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными :

  4. Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  5. Решим полученную систему уравнений:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  6. Подставляя найденные значения произвольных постоянны c1 и c2 в формулу (3), получаем искомую формулу общего члена последовательности:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

      Решение примера 1 закончено.

      Пример 2. Найти формулу общего члена  последовательности, заданной рекуррентной формулой

xn = 4 xn – 1 – 4 xn – 2 ,       n > 2 , (4)

с начальными условиями

x1 = 1,       x2 = 3 . (5)

      Решение. Будем действовать в соответствии со схемой.

  1. Характеристическое уравнение для последовательности (4) имеет вид

    λ2 – 4 λ + 4 = 0 .

    Найдем его корни:

    λ1 = λ2 = 2 .

  2. Поскольку корни характеристического уравнения вещественны и равны между собой, то общее решение рекуррентного уравнения (4) имеет вид

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

    где c1 и c2 - произвольные вещественные числа.

  3. Найдем теперь значения произвольных постоянных c1 и c2 так, чтобы для последовательности

    xn = c12n + c2 n 2n (6)

    выполнялись начальные условия (5). Это означает, что числа c1 и c2 должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными :

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  4. Решим полученную систему уравнений:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  5. Подставляя найденные значения произвольных постоянных c1 и c2 в формулу (6), получаем искомую формулу общего члена последовательности:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

    которую удобно переписать в виде:

    xn = (1 + n) 2n – 2,       n = 1, 2, …

      Решение примера 2 закончено.

      Пример 3. Найти формулу общего члена  последовательности, заданной рекуррентной формулой

Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения (7)

с начальными условиями

Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения (8)

      Решение. Будем действовать в соответствии со схемой.

  1. Характеристическое уравнение для этой последовательности имеет вид

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

    Найдем его корни:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  2. Поскольку характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня, то общее решение рекуррентного уравнения (7) имеет вид

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения,

    где c1 и c2 - произвольные вещественные числа.

  3. Найдем теперь значения произвольных постоянных c1 и c2 так, чтобы для последовательности

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения (9)

    выполнялись начальные условия (8). Это означает, что числа c1 и c2 должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными :

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  4. Для того, чтобы решить эту систему уравнений, перепишем её в следующем виде:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

  5. Подставляя найденные значения произвольных постоянных c1 и c2 в формулу (9), получаем искомую формулу общего члена последовательности:

    Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения

      Решение примера 3 закончено.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Возвратные последовательности вывод формулы общего члена примеры решения индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


      Яндекс цитирования