e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд




НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"




Геометрическая прогрессия ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Геометрическая прогрессия ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Геометрическая прогрессия Алгебра Геометрическая прогрессия Последовательности чисел

Геометрическая прогрессия

      Определение 1Числовую последовательность

b1 ,  b2 , … bk , …

все члены которой отличны от нуля, называют геометрической прогрессией, если справедливы равенства

Геометрическая прогрессия

      Определение 2.  Если последовательность чисел

b1 ,  b2 , … bk , …

является геометрической прогрессией, то число  q , определенное формулой

Геометрическая прогрессия

называют знаменателем этой геометрической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 следует, что для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член геометрической прогрессии b1 и знаменатель геометрической прогрессии   q . Если числа   b1   и   q   известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

b2 = b1 q , (1)
b3 = b2 q ,
bk = bk – 1 q

      По этой причине многие задачи на геометрическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения  чисел   b1   и   q.

      Из формул (1) вытекает общая формула

bk = b1 qk – 1,       k = 1, 2, 3, … (2)

позволяющая по любому номеру   k   вычислить член bk  геометрической прогрессии, зная первый член и знаменатель прогрессии.  Эта формула носит название формулы общего члена геометрической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство формулируется так: - «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что  при  Геометрическая прогрессия справедливо равенство

Геометрическая прогрессия (3)

      В случае, когда

  b1 > 0   и   q > 0  

все члены геометрической прогрессии будут положительными, и формулу (3) можно переписать в другом виде:

Геометрическая прогрессия (4)

      Равенство (4) означает, что каждый член такой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому своих соседних членов.

      Если для суммы первых   k   членов геометрической прогрессии ввести обозначение

Sk = b1 + b2 + … + bk  ,       k = 1, 2, 3, …

то, воспользовавшись равенствами (1), получаем

q Sk = b1q + b2q + … + bk q = b2 + b3 + … + bk +1 .

      Следовательно,

Sk – q Sk = b1bk +1 .

      Таким образом , при Геометрическая прогрессиябудет справедливо равенство

Геометрическая прогрессия

которое называется формулой для суммы первых k членов геометрической прогрессии.

      В случае, когда   q = 1, все члены геометрической прогрессии равны, что не представляет особого интереса.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

      Определение 3. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если  её знаменатель удовлетворяет неравенству

  | q | < 1 .

      В этом случае выполнено равенство

Арифметическая прогрессия

а величину  S называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

      Более подробно с понятием предела числовой последовательности можно ознакомиться в в разделе «Пределы числовых последовательностей» нашего справочника.

      С примерами решений различных задач по теме «Геометрическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Геометрическая прогрессия подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Геометрическая прогрессия индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования