e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по физике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияОГЭ-2016. Математика. 36 вариантов. Типовые экзаменацион- ные варианты - Семенов А.Л.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияЕГЭ 2016. Математика. Эксперт. Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияЕГЭ. Математика. Задание 21. Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Ю.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru

ОГЭ (ГИА) по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения Алгебра Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
возвратные (симметричные) уравнения

      Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

      К таким уравнениям, в  частности, относятся уравнения следующих типов:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияТрёхчленные уравнения
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияВозвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияВозвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияОбобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Замечание. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

      Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

ax3 + bx2 + bx + a = 0, (1)

где a, b  –  заданные числа.

      Решение уравнения (1) осуществляется  при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

ax2 + (b – a) x + a = 0.

      Пример 1. Решить уравнение

2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0. (2)

      Решение. Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ:Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

      Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, (3)

а также уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0, (4)

где a, b, c  –  заданные числа.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (5)

      Преобразуем левую часть уравнения (5):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (6)

     Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c – 2a = 0. (8)

     Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (9)

      Преобразуем левую часть уравнения (9):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (10)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c + 2a = 0. (12)

      Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

      Пример 2. Решить уравнение

2x4 – 3x3 + x2 – 3x + 2 = 0. (13)

      Решение. Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (14)

      Преобразуем левую часть уравнения (14):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (15)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

2y2 – 3y – 5 = 0. (17)

      Решим уравнение (17):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (18)

      В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

которое решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (16) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Пример 3. Решить уравнение

6x4 – 25x3 + 12x2 + 25x + 6 = 0. (19)

      Решение. Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (20)

      Преобразуем левую часть уравнения (20):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (21)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

6y2 – 25y + 24 = 0. (23)

      Решим уравнение (23):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (24)

      В первом случае из равенства (22) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Во втором случае из равенства (22) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ: УУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (25)

где  a, b, c,   заданные числа.

      Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (25)

      Преобразуем левую часть уравнения (26):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (26)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (27)

то уравнение (26) станет квадратным уравнением:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (28)

      Найдем корни уравнения (28), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (27), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

      Пример 4. Решить уравнение

2x4 – 15x3 + 35x2 – 30 x + 8 = 0. (29)

      Решение. Введем для коэффициентов уравнения (29) следующие обозначения

a = 2 ,      b = – 15,       c = 35,       d = – 30,

и найдем значение выражения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Поскольку

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

то уравнение (29) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (30)

      Преобразуем левую часть уравнения (30):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (30) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (31)

     Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения (32)

то уравнение (31) станет квадратным уравнением:

2y2 – 15y + 27 = 0. (33)

      Решим уравнение (33):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В первом случае из равенства (32) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Во втором случае из равенства (32) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения 

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования