Mосква, Северо-восток
Справочник по математикеУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияАлгебраУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
возвратные (симметричные) уравнения

      Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

      К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияТрёхчленные уравнения
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияУравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияВозвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияВозвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решенияОбобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Замечание. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

      Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

ax3 + bx2 + bx + a = 0,(1)

где a, b – заданные числа.

      Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

ax2 + (b – a) x + a = 0.

      Пример 1. Решить уравнение

2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0.(2)

      Решение. Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ:Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

      Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,(3)

а также уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0,(4)

где a, b, c – заданные числа.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(5)

      Преобразуем левую часть уравнения (5):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(6)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c – 2a = 0.(8)

     Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(9)

      Преобразуем левую часть уравнения (9):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(10)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c + 2a = 0.(12)

      Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

      Пример 2. Решить уравнение

2x4 – 3x3 + x2 – 3x + 2 = 0.(13)

      Решение. Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(14)

      Преобразуем левую часть уравнения (14):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(15)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

2y2 – 3y – 5 = 0.(17)

      Решим уравнение (17):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(18)

      В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

которое решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (16) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Пример 3. Решить уравнение

6x4 – 25x3 + 12x2 + 25x + 6 = 0.(19)

      Решение. Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(20)

      Преобразуем левую часть уравнения (20):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(21)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

6y2 – 25y + 24 = 0.(23)

      Решим уравнение (23):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(24)

      В первом случае из равенства (22) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Во втором случае из равенства (22) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ: УУравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(25)

где  a, b, c,  заданные числа.

      Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(26)

      Преобразуем левую часть уравнения (26):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(27)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(29)

      Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

      Пример 4. Решить уравнение

2x4 – 15x3 + 35x2 – 30 x + 8 = 0.(30)

      Решение. Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

a = 2 ,      b = – 15,       c = 35,       d = – 30,

и найдем значение выражения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Поскольку

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x2. В результате получится уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(31)

      Преобразуем левую часть уравнения (31):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(32)

      Если теперь обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

2y2 – 15y + 27 = 0.(34)

      Решим уравнение (34):

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      В первом случае из равенства (33) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Во втором случае из равенства (33) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Уравнения сводящиеся к квадратным возвратные симметричные уравнения примеры решения индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования