Mосква, Северо-восток
Справочник по математикеУравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияАлгебраУравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияУравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
трехчленные уравнения и уравнения вида

(ax + b)(ax + b + c)(ax + b + 2c)(ax + b + 3c) = d

      Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

      К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияТрёхчленные уравнения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияУравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияВозвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияВозвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияОбобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Замечание. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».

Трехчленные уравнения

      Трёхчленными уравнениями называют уравнения вида

a f 2(x)+ b f (x) + c = 0,(1)

а также уравнения вида

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения(2)

где a, b, c – заданные числа, а    f (x) некоторая функция.

      Для того, чтобы решить трехчленное уравнения вида (1), обозначим

y = f (x),(3)

тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной y :

ay2 + by + c = 0 .(4)

      Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .

      Для того, чтобы решить трехчленное уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.

      Покажем, как это осуществляется на примерах.

      Пример 1. Решить уравнение

(x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0 .(5)

      Решение. Если обозначить

y = x2 – 2x ,(6)

то уравнение (5) превратится в квадратное уравнение

y2 – 2y – 3 = 0 .(7)

      Решим уравнение (7):

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      В первом случае из равенства (6) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Во втором случае из равенства (6) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ:     – 1,     1,     3.

      Пример 2. Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения(8)

      Решение. Если обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения,(9)

то уравнение (8) превратится в квадратное уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое эквивалентно уравнению

2y2 – 3 y – 2 = 0 .(10)

      Решим уравнение (10):

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      В первом случае из равенства (9) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (9) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Пример 3. Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения(11)

      Решение. Если обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения,(12)

то уравнение (11) превратится в квадратное уравнение

y2 – 9 – 5y + 3 = 0 ,

которое эквивалентно уравнению

y2 – 5y – 6 = 0 .(13)

      Решим уравнение (13):

y1 = – 1,     y2 = 6 .

      В первом случае из равенства (12) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (12) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Пример 4. Решить биквадратное уравнение

x4 x2 – 12 = 0 .(14)

      Решение. Если обозначить

y = x2,(15)

то уравнение (14) превратится в квадратное уравнение

y2 y – 12 = 0 .(16)

      Решим уравнение (16):

y1 = – 3,     y2 = 4 .

      В первом случае из равенства (15) получаем уравнение:

x2 = – 3,

которое решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (15) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ:    – 2,     2 .

      Пример 5. Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения(17)

      Решение. Если обозначить

y = x2 – 3x,(18)

уравнение (17) превращается в уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое при умножении на   y   принимает вид

y2 + 2y – 8 = 0 .(19)

      Решим уравнение (19):

y1 = – 4,     y2 = 2 .

      В первом случае из равенства (18) получаем квадратное уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (18) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Пример 6. Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения (20)

      Решение. Если обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения,(21)

уравнение (20) превращается в уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое при умножении на   y   принимает вид

3y2 – 2y – 1 = 0 .(22)

      Решим уравнение (22):

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      В первом случае из равенства (21) получаем уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (21) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ:     – 2 .

Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

      Рассмотрим уравнение

(ax + b)(ax + b + c)(ax + b + 2c)(ax + b + 3c) = d ,(23)

где a, b, c, d –  заданные числа, и заметим, что левая часть этого уравнения представляет собой произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен ax+b, а разность равна c.

      Схема решения уравнений вида (23) заключается в следующем.

      Сначала обозначим

y = ax + b.(24)

      Тогда уравнение (23) примет вид:

y (y + c)(y + 2c)(y + 3c) = d .(25)

      Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (25) следующим образом:

[y (y + 3c)][(y + c)(y + 2c)] = d .(26)

      Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (26), то получим:

[y2 + 3cy][y2 + 3cy + 2c2] = d .(27)

      Если теперь в уравнении (27) обозначить

z = y2 + 3cy ,(28)

то уравнение (27) станеи квадратным уравнением

z2 + 2c2 zd = 0 .(29)

      Для того, чтобы найти корни уравнения (23), остаётся решить уравнение (29), затем для каждого корня уравнения (29) решить уравнение (28) относительно   y , а затем в каждом из полученных случаев решить уравнение (24) относительно   x .

      Пример 7 . Решить уравнение

(2x + 3)(2x + 5)(2x + 7)(2x + 9) = 384 .(30)

      Решение.Если обозначить

y = 2x + 3,(31)

уравнение (30) превращается в уравнение

y (y + 2)(y + 4)(y + 6) = 384 . (32)

      Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (32):

[y (y + 6)][(y + 2)(y + 4)] = 384 .(33)

      Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (33), то уравнение (33) примет вид:

[y2 + 6y][y2 + 6y + 8] = 384 .(34)

      Если теперь обозначить

z = y2 + 6y ,(35)

то уравнение (34) станет квадратным уравнением

z2 + 8 z – 384 = 0 .(36)

      Решим уравнение (36):

z1 = – 24,     z2 = 16 .

      В первом случае из равенства (35) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое корней не имеет.

      Во втором случае из равенства (35) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      В первом из этих случаев, из равенства (31) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Во втором случае из равенства (31) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования