e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭ Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрии Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"

ЕГЭ по физике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения ЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияТренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Э.Н.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения ОГЭ. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Л.Д.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень). Рабочая тетрадь. ФГОС - Шестаков С.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияОГЭ. Математика. 3000 задач с ответами. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияГотовимся к ЕГЭ. Математика. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения Математика. Базовый уровень ОГЭ-2015. Пособие для "чайников". Модуль 2. Геометрия - Лысенко Ф.Ф.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияЕГЭ-2016. Математика. 30 вариантов экзаменацион- ных работ для подготовки к ЕГЭ. Базовый уровень
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияОГЭ-2016. Математика. 36 вариантов. Типовые экзаменацион- ные варианты - Семенов А.Л.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияПодготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. Профильный уровень. 19 задач. Методические указания. ФГОС - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения Алгебра Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
трехчленные уравнения и уравнения вида

(ax + b)(ax + b + c)(ax + b + 2c)(ax + b + 3c) = d

      Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

      К таким уравнениям, в  частности, относятся уравнения следующих типов:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияТрёхчленные уравнения
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияВозвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияВозвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решенияОбобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Замечание. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».

Трехчленные уравнения

      Трёхчленными уравнениями называют уравнения вида

a f 2(x)+ b f (x) + c = 0, (1)

а также уравнения вида

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения (2)

где a, b, c – заданные числа, а    f (x) некоторая функция.

      Для того, чтобы решить трехчленное уравнения вида (1), обозначим

y = f (x), (3)

тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной y :

ay2 + by + c = 0 . (4)

      Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .

      Для того, чтобы решить трехчленное уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.

      Покажем, как это осуществляется на примерах.

      Пример 1. Решить уравнение

(x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0 . (5)

      Решение. Если обозначить

y = x2 – 2x , (6)

то уравнение (5) превратится в квадратное уравнение

y2 – 2y – 3 = 0 . (7)

      Решим уравнение (7):

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      В первом случае из равенства (6) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Во втором случае из равенства (6) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ:     – 1,     1,     3.

      Пример 2.  Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения (8)

      Решение. Если обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения, (9)

то уравнение (8) превратится в квадратное уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое эквивалентно уравнению

2y2 – 3 y – 2 = 0 . (10)

      Решим уравнение (10):

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      В первом случае из равенства (9) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (9) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Пример 3.  Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения (11)

      Решение. Если обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения, (12)

то уравнение (11) превратится в квадратное уравнение

y2 – 9 – 5y + 3 = 0 ,

которое эквивалентно уравнению

y2 – 5y – 6 = 0 . (13)

      Решим уравнение (13):

y1 = – 1,     y2 = 6 .

      В первом случае из равенства (12) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (12) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Пример 4.  Решить биквадратное уравнение

x4 x2 – 12 = 0 . (14)

      Решение. Если обозначить

y = x2, (15)

то уравнение (14) превратится в квадратное уравнение

y2 y – 12 = 0 . (16)

      Решим уравнение (16):

y1 = – 3,     y2 = 4 .

      В первом случае из равенства (15) получаем уравнение:

x2 = – 3,

которое решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (15) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ:    – 2,     2 .

      Пример 5. Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения (17)

      Решение. Если обозначить

y = x2 – 3x, (18)

уравнение (17) превращается в уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое при умножении на   y   принимает вид

y2 + 2y – 8 = 0 . (19)

      Решим уравнение (19):

y1 = – 4,     y2 = 2 .

      В первом случае из равенства (18) получаем квадратное уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (18) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Пример 6. Решить уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения (20)

      Решение. Если обозначить

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения, (21)

уравнение (20) превращается в уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое при умножении на   y   принимает вид

3y2 – 2y – 1 = 0 . (22)

      Решим уравнение (22):

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      В первом случае из равенства (21) получаем уравнение

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (21) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ:     – 2 .

Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии

      Рассмотрим уравнение

(ax + b)(ax + b + c)(ax + b + 2c)(ax + b + 3c) = d , (23)

где a, b, c, d –  заданные числа, и заметим, что левая часть этого уравнения представляет собой произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен ax+b, а разность равна c .

      Схема решения уравнений вида (23) заключается в следующем.

     Сначала обозначим

y = ax + b. (24)

      Тогда уравнение (23) примет вид:

y (y + c)(y + 2c)(y + 3c) = d . (25)

      Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (25) следующим образом:

[y (y + 3c)][(y + c)(y + 2c)] = d . (26)

      Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (26), то получим:

[y2 + 3cy][y2 + 3cy + 2c2] = d . (27)

      Если теперь в уравнении (27) обозначить

z = y2 + 3cy , (28)

то уравнение (27) станеи квадратным уравнением

z2 + 2c2 zd = 0 . (29)

      Для того, чтобы найти корни уравнения (23), остаётся решить уравнение (29), затем для каждого корня уравнения (29) решить уравнение (28) относительно   y , а затем в каждом из полученных случаев решить уравнение (24) относительно   x .  

      Пример 7 . Решить уравнение

(2x + 3)(2x + 5)(2x + 7)(2x + 9) = 384 . (30)

      Решение.Если обозначить

y = 2x + 3, (31)

уравнение (30) превращается в уравнение

y (y + 2)(y + 4)(y + 6) = 384 . (32)

      Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (32):

[y (y + 6)][(y + 2)(y + 4)] = 384 . (33)

      Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (33), то уравнение (33) примет вид:

[y2 + 6y][y2 + 6y + 8] = 384 . (34)

      Если теперь обозначить

z = y2 + 6y , (35)

то уравнение (34) станет квадратным уравнением

z2 + 8 z – 384 = 0 . (36)

      Решим уравнение (36):

z1 = – 24,     z2 = 16 .

      В первом случае из равенства (35) получаем уравнение:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

которое корней не имеет.

      Во втором случае из равенства (35) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      В первом из этих случаев, из равенства (31) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Во втором случае из равенства (31) получаем:

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

      Ответ: Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Уравнения сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения примеры решения индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования