Mосква, Северо-восток

Конечные числовые суммы. Метод математической индукции

Справочник по математике для школьников алгебра конечные числовые суммыКонечные числовые суммы
Справочник по математике для школьников алгебра метод математической индукцииМетод математической индукции
Справочник по математике для школьников алгебра конечные числовые суммы метод математической индукции

Конечные числовые суммы

      Пусть   n   – произвольное натуральное число. Тогда справедливы следующие формулы, которые называют конечными числовыми суммами:

Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) =
=
n2 ,
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры13 + 33 + 53 + … + (2n – 1)3 =
=
n2 (2n2 – 1) ,
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры

      Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии является простейшим примером бесконечной числовой суммы (числового ряда). Ряды изучают в ВУЗовских курсах математики.

      Доказательство формул для конечных числовых сумм можно получить с помощью различных методов.

      К изложению одного из мощнейших методов доказательства этих, а также подобных формул, – методу (принципу) математической индукции мы сейчас и переходим.

Метод математической индукции

      Предположим, что нам требуется доказать, что некоторая формула верна при любом натуральном значении   n .   Предположим также, что мы:

  1. непосредственно проверили, что формула верна при   n = 1 ,
  2. доказали, что из справедливости формулы для некоторого номера   n ,   вытекает её справедливость для номера   n + 1 .

      Тогда в силу метода (принципа) математической индукции можно утверждать, что формула верна для всех натуральных чисел   n .

      Для примера дадим доказательство одной из формул, приведенных в предыдущем разделе.

      Пример 1. Доказать, что при всех натуральных   n   верна формула

Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
(1)

      Решение. Для доказательства воспользуемся методом математической индукции:

  1. В случае   n = 1   формула (1) имеет вид

    Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры

    и является верной.

  2. Докажем, что из справедливости равенства (1), вытекает справедливость равенства

    Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
    Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
    Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
    (2)

    полученного из равенства (1) при помощи замены   n   на   n + 1 .

          Действительно,

    Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
    Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры
    Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры

          Следовательно, формула (2) верна, откуда из принципа математической индукции заключаем, что формула (1) верна для всех натуральных значений   n .

      Пример 2. Доказать, что число   n5 – n   делится на   5   при всех натуральных значениях n .

      Решение. Для доказательства снова воспользуемся методом математической индукции:

  1. В случае   n = 1   число   n5 – n   равно   0   и, конечно же, делится на   5 .

    Таким образом, при   n = 1   требуемое утверждение верно.

  2. Теперь докажем, что из того, что число   n5 – n   делится на   5   вытекает, что число

    (n + 1)5 – (n + 1)

    также делится на   5 .

          Действительно, пусть

    n5n = 5k ,

    где   Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры.

          Тогда поскольку

    (n + 1)5 = n5 + 5n4 +
    +
    10n3 + 10n2 + 5n + 1

    (см. Таблицу 1 из раздела справочника «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности»), то

    (n + 1)5 – (n + 1) =
    =
    (n5n)+
    +
    5n4 +
    +
    10n3 + 10n2 + 5n =
    = 5k + 5n4 + 10n3 +
    +
    10n2 + 5n =
    =
    5 (k + n4 +
    +
    2n3 + 2n2 + n) ,

    т.е. делится на   5 .

          В соответствии с принципом математической индукции все доказано.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Конечные числовые суммы метод математической индукции примерыподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Конечные числовые суммы метод математической индукции примерыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников


ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика