e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд



Проблемы
с математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников

Конечные числовые суммы метод математической индукции примерыЕГЭ. Математика. 4000 задач с ответами. Базовый и профильный уровни. "Закрытый сегмент" - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru

ЕГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ 2016 по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно
с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Как решать задачи
по физике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по физикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математикеКонечные числовые суммы метод математической индукции примерыАлгебраКонечные числовые суммы метод математической индукции примерыПоследовательности чисел

Конечные числовые суммы. Метод математической индукции

Справочник по математике для школьников алгебра конечные числовые суммыКонечные числовые суммы
Справочник по математике для школьников алгебра метод математической индукцииМетод математической индукции

Справочник по математике для школьников алгебра конечные числовые суммы метод математической индукции

Конечные числовые суммы

      Пусть   n   – произвольное натуральное число. Тогда справедливы следующие формулы, которые называют конечными числовыми суммами:

Конечные числовые суммы метод математической индукции примерыКонечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 ,
Конечные числовые суммы метод математической индукции примерыКонечные числовые суммы метод математической индукции примеры,
Конечные числовые суммы метод математической индукции примерыКонечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примерыКонечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры13 + 33 + 53 + … + (2n – 1)3 = n2 (2n2 – 1) ,
Конечные числовые суммы метод математической индукции примерыКонечные числовые суммы метод математической индукции примеры
Конечные числовые суммы метод математической индукции примерыКонечные числовые суммы метод математической индукции примеры

      Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии является простейшим примером бесконечной числовой суммы (числового ряда). Ряды изучают в ВУЗовских курсах математики.

      Доказательство формул для конечных числовых сумм можно получить с помощью различных методов.

      К изложению одного из мощнейших методов доказательства этих, а также подобных формул, – методу (принципу) математической индукции мы сейчас и переходим.

Метод математической индукции

      Предположим, что нам требуется доказать, что некоторая формула верна при любом натуральном значении   n .   Предположим также, что мы:

  1. непосредственно проверили, что формула верна при   n = 1 ,
  2. доказали, что из справедливости формулы для некоторого номера   n ,   вытекает её справедливость для номера   n + 1 .

      Тогда в силу метода (принципа) математической индукции можно утверждать, что формула верна для всех натуральных чисел   n .

      Для примера дадим доказательство одной из формул, приведенных в предыдущем разделе.

      Пример 1. Доказать, что при всех натуральных   n   верна формула

Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры(1)

      Решение. Для доказательства воспользуемся методом математической индукции:

  1. В случае   n = 1   формула (1) имеет вид

    Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры

    и является верной.

  2. Докажем, что из справедливости равенства (1), вытекает  справедливость равенства

    Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры (2)

    полученного из равенства (1) при помощи замены   n   на   n + 1 .

          Действительно,

    Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры

          Следовательно, формула (2) верна, откуда из принципа математической индукции заключаем, что формула (1) верна для всех натуральных значений   n .

      Пример 2. Доказать, что число   n5n   делится на   5   при всех натуральных значениях n .

      Решение. Для доказательства снова воспользуемся методом математической индукции:

  1. В случае   n = 1   число   n5n   равно   0   и, конечно же, делится на   5 .

    Таким образом, при   n = 1   требуемое утверждение верно.

  2. Теперь докажем, что из того, что число   n5n   делится на   5   вытекает, что число

      (n + 1)5 – (n + 1)  

    также делится на   5 .

          Действительно, пусть

      n5n = 5k ,  

    где   Конечные числовые суммы метод математической индукции примеры.

          Тогда поскольку

    (n + 1)5 = n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n +1  

    (см. Таблицу 1 из раздела справочника «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности»), то

    (n + 1)5 – (n + 1) = (n5n)+ 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n =
    = 5k + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n = 5 (k + n4 + 2n3 + 2n2 + n) ,

    т.е. делится на   5 .

          В соответствии с принципом математической индукции все доказано.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Конечные числовые суммы метод математической индукции примерыподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Конечные числовые суммы метод математической индукции примерыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования