Mосква, Северо-восток

Бином Ньютона

Справочник по математике для школьников алгебра формула бинома НьютонаФормула бинома Ньютона
Справочник по математике для школьников алгебра связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляСвязь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Справочник по математике для школьников алгебра свойства биномиальных коэффициентовСвойства биномиальных коэффициентов
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

Формула бинома Ньютона

      В Таблице 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения» приведены формулы для натуральных степеней бинома

(x + y)n

в случаях, когда   n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

      В настоящем разделе рассматривается общий случай этой формулы, т.е. случай произвольного натурального значения  n .

      Материал настоящего раздела близко связан с материалом разделов «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности», «Треугольник Паскаля» и «Комбинаторика: размещения и сочетания».

      Утверждение. Для любого натурального числа   n   и любых чисел  x  и  y  справедлива формула бинома Ньютона:

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
(1)

где

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
(2)

числа сочетаний из  n  элементов по  k  элементов.

      В формуле (1) слагаемые

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

называют членами разложения бинома Ньютона, а числа сочетаний Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля – коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами.

      Если в формуле (1) заменить   y   на   – y ,   то мы получим формулу для   n - ой степени разности:

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

      Напомним, что треугольник Паскаля имеет следующий вид:

Треугольник Паскаля
01
11     1
21     2     1
31     3     3     1
41     4     6     4     1
51     5     10     10     5     1
61     6     15     20     15     6     1

      Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:

Треугольник Паскаля
0Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
1Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
2Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
3Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
4Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
5Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
6Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Треугольник Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Треугольник Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

Свойства биномиальных коэффициентов

      Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

1Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
2
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
3
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
4
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

к доказательству которых мы сейчас и переходим.

      Докажем сначала равенство 1.

      Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером   2 ,   между числами   1   стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

      Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2):

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

что и требовалось.

      Для доказательства равенства 2 положим в формуле бинома Ньютона (1)    = 1,   = 1.

      Если же в формуле бинома Ньютона (1) взять   = 1,   = –1, то получится равенство 3.

      Перейдем к доказательству равенства 4. С этой целью положим в формуле бинома Ньютона (1)    y = 1

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
(3)

      Воспользовавшись очевидным равенством

Комбинаторика размещения и сочетания

перепишем формулу (3) в другом виде

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
(4)

      Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим равенство:

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
(5)

      Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при   xn в левой и в правой частях, то мы получим следующее равенство:

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

что и требовалось.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаляподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Бином Ньютона свойства биномиальных коэффициентов связь бинома Ньютона с треугольником Паскаляиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика