Действия над многочленами

Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членовПриведение подобных членов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами  умножение многочлена на числоУмножение многочлена на число
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами умножение одночлена на одночленУмножение одночлена на одночлен
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами сложение и вычитание многочленовСложение и вычитание многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами умножение многочлена на многочленУмножение многочлена на многочлен
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов

Приведение подобных членов

      Два одночлена называются подобными, если они или равны, или отличаются лишь коэффициентами.

      Одночлены, входящие в состав многочлена, часто называют членами многочлена.

      Если в многочлен входят подобные одночлены, то желательно совершить операцию приведения подобных членов.

      В результате выполнения операции приведения подобных членов подобные одночлены заменяются одним одночленом, коэффициент которого равен алгебраической сумме коэффициентов подобных одночленов.

      Покажем, как выполняется операция приведения подобных членов на примере.

      Пример 1. Привести подобные члены в многочлене

Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов

      Решение. Преобразуем, если этого не сделано, каждый одночлен, входящий в многочлен, в равный ему одночлен так, чтобы в нём сначала стояла степень буквы   x1 , затем степень буквы   x2 , затем степень буквы   x3   и т.д.:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов

      Отметим в полученном многочлене подобные члены одного вида одной чертой сверху, другого вида – двумя чертами сверху, третьего вида – изогнутой линией сверху и т.д.:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов

      Сгруппируем подобные члены каждого вида и совершим их приведение:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов

      Замечание. Решение примера 1 в учебных целях изложено с подробным и последовательным разбиением на этапы. Конечно же, при наличии опыта (который мы очень рекомендуем приобрести, решая задачи и примеры) приведение подобных членов осуществляется значительно короче и быстрее.

Умножение многочлена на число

      При умножении многочлена на число каждый член этого многочлена умножается на это число.

      Пример 2. Выполнить действие

– (x3 – 3x2y + 3xy2 y3) .

      Решение. Поскольку

x3 – 3x2y + 3xy2 y3 =
=
x3 + (– 3x2y) +
+
3xy2 + (– y3) ,

      то

– (x3 – 3x2y + 3xy2 y3) =
=
( –1)[ x3 + (– 3x2y) +
+
3xy2 + (– y3)] =
= ( –1) x3 + ( –1)(– 3x2y) +
+
( –1) 3xy2 + ( –1)(– y3) =
= – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 .

      Замечание. Действие в примере 2 называется раскрытием скобки и, конечно же, при наличии даже небольшого опыта выполняется мгновенно.

Умножение одночлена на одночлен

      Пример 3. Выполнить действие

Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов

      Решение. Напомним, что при умножении степеней с одним основанием результатом является степень с тем же основанием, показатель которой равен сумме показателей сомножителей. Поэтому при выполнении требуемого в примере действия мы получим следующее:

Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов
Электронный справочник по математике для школьников алгебра действия над многочленами приведение подобных членов сложение и умножение многочленов

Сложение и вычитание многочленов

      Операции сложения и вычитания многочленов близко связаны с операцией приведения подобных членов.

      Пример 4. Выполнить действия

(x3 – 3x2y + 3xy2 y3) –
(x3 + 3x2y + 3xy2 y3) +
+
5x2y .

      Решение. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим

(x3 – 3x2y + 3xy2 y3) –
(x3 + 3x2y + 3xy2 y3) +
+
5x2y =
= x3 – 3x2y + 3xy2 y3x3
3x2y – 3xy2 + y3 + 5x2y =
=
x2y .

Умножение многочлена на многочлен

      При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена, а полученные результаты суммируются.

      Заметим, что при умножении двух многочленов, отличных от нуля, получается многочлен, степень которого равна сумме степеней многочленов-сомножителей.

      Пример 5. Выполнить действия

(4x3 – 5xy2)(2x2x2y + 3xy4)

      Решение.

(4x35xy2)(2x2x2y +
+
3xy4) =
= 4x3(2x2x2y + 3xy4) +
+
(– 5xy2)(2x2x2y + 3xy4) =
= (8x5 – 4x5y + 12 x4y4) +
+
(– 10x3y2 + 5x3y3
15x2y6)
=
= 8x5 – 4x5y + 12 x4y4
10x3y2 + 5x3y3 – 15x2y6 .
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд












НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика