Mосква, Северо-восток
Справочник по математикеПрямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графикиАлгебраПрямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графикиЛинейные функции,
уравнения, неравенства

Прямые на координатной плоскости

Справочник по математике для школьников алгебра линейная функцияЛинейная функция
Справочник по математике для школьников алгебра график линейной функцииГрафик линейной функции
Справочник по математике для школьников алгебра прямые параллельные оси ординатПрямые, параллельные оси ординат
Справочник по математике для школьников алгебра уравнения вида  px+qy=rУравнения вида   px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

Линейная функция

      Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

y = kx + b, (1)

где   k   и   – произвольные (вещественные) числа.

      При любых значениях   k   и   графиком линейной функции является прямая линия.

      Число   k   называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число   свободным членом.

График линейной функции

      При   k > 0   линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.

k > 0
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.1
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.2
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.3

      При   k = 0   линейная функция (1) принимает одно и тоже значение   y = b   при всех значениях   x ,  а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.

k = 0
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.4
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.5
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.6

      При   k < 0   линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.

k < 0
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.7
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.8
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.9

      Прямые линии

y = kx + b1 и y = kx + b2 ,

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики, параллельны.

      Прямые линии

y = k1x + b1 и y = k2x + b2 ,

имеющие разные угловые коэффициенты Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики, пересекаются при любых значениях свободных членов.

      Прямые линии

y = kx + b1 и Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

      Угловой коэффициент прямой линии

y = kx(2)

равен тангенсу угла   φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.10
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.11
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.12

      Прямая (1) пересекает ось   Oy  в точке, ордината которой (рис. 11) равна   b .

      При Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики прямая (1) пересекает ось   Ox  в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

Прямые, параллельные оси ординат

      Прямые, параллельные оси   Oy, задаются формулой

  x = c ,(3)

где   – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.13
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.14
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.15

      Замечание 1. Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента    x = c   соответствует бесконечное множество значений   y . 

Уравнение вида   px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

      Рассмотрим уравнение

px + qy = r , (4)

где   p, q, r  – произвольные числа.

      В случае, когда Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию.

      Действительно,

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

что и требовалось.

      В случае, когда Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики получаем:

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

      В случае, когда   q = 0,   p = 0,  уравнение (4) имеет вид

0 = r ,(5)

и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

      В случае, когда Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики уравнение (5) решений вообще не имеет.

      Замечание 2. При любом значении  r1, не совпадающем с   r  прямая линия, заданная уравнением

px + qy = r1 , (6)

параллельна прямой, заданной уравнением (4).

      Замечание 3. При любом значении   r2 прямая линия, заданная уравнением

qx + py = r2 ,(7)

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4).

      Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами    (2; – 3) и

  1. параллельной к прямой
  2. 4x + 5y = 7 ;(8)
  3. перпендикулярной к прямой (8).

      Решение.

  1. В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде

    4x + 5y = r1 ,(9)

    где  r1 – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами   (2; – 3), то справедливо равенство

    Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

          Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой

    4x + 5y = 7 ,

    задаётся уравнением

    4x + 5y = – 7 .

  2. В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде

    – 5x + 4y = r2 ,(10)

    где r2 – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами   (2; – 3), то справедливо равенство

    Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

          Итак, прямая, перпендикулярная к прямой

    4x + 5y = 7 ,

    задаётся уравнением

    – 5x + 4y = – 22 .

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графикиподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графикииндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

      Яндекс цитирования