e-mail: resolventa@list.ru
Mосква, Северо-восток
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии в учебном центр Резольвента
Поиск по сайту:
До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия


Проблемы с
математикой?

(495) 509-28-10
Подготовка к ОГЭ (ГИА) и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

(495) 509-28-10
Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графикиЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 50 вариантов заданий - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики ОГЭ 2016. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся (совместно с ФИПИ) - Ященко И.В.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики ЕГЭ по математике. Геометрия. Практическая подготовка. Учебное пособие - Черняк А.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Ю.А.
Купить книгу с доставкой
в интернет-магазине
My-shop.ru
НАШИ ПАРТНЕРЫ
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Справочник по математике Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Алгебра Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Линейные функции,
уравнения, неравенства

Прямые на координатной плоскости

Линейная функция

      Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

y = kx + b, (1)

где   k   и   – произвольные (вещественные) числа.

      При любых значениях   k   и   графиком линейной функции является прямая линия.

      Число   k   называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число   свободным членом.

График линейной функции

      При   k > 0   линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.

k > 0
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.1 Рис.2 Рис.3

      При   k = 0   линейная функция (1) принимает одно и тоже значение   y = b    при всех значениях   x ,  а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.

k = 0
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.4 Рис.5 Рис.6

      При   k < 0   линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.

k < 0
Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.7 Рис.8 Рис.9

      Прямые линии

y = kx + b1    и     y = kx + b2 ,

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики, параллельны.

      Прямые линии

y = k1x + b1    и    y = k2x + b2 ,

имеющие разные угловые коэффициенты Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики, пересекаются при любых значениях свободных членов.

      Прямые линии

y = kx + b1    и   Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

      Угловой коэффициент прямой линии

y = kx (2)

равен тангенсу угла   φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.10 Рис.11 Рис.12

      Прямая (1) пересекает ось   Oy  в точке, ордината которой (рис. 11) равна   b .  

      При Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики прямая (1) пересекает ось   Ox  в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

Прямые, параллельные оси ординат

      Прямые, параллельные оси   Oy, задаются формулой

  x = c , (3)

где   – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики
Рис.13 Рис.14 Рис.15

      Замечание 1.  Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента    x = c   соответствует бесконечное  множество значений   y . 

Уравнение вида   px + qy = r

      Рассмотрим уравнение

px + qy = r , (4)

где   p, q, r  – произвольные числа.

      В случае, когда Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию.

      Действительно,

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

что и требовалось.

      В случае, когда Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики получаем:

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

      В случае, когда   q = 0,   p = 0,  уравнение (4) имеет вид

0 = r , (5)

и при  r = 0  его решением являются точки всей плоскости:

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

      В случае, когда  Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики уравнение (5) решений вообще не имеет.

      Замечание 2.  При любом значении  r1, не совпадающем с   r  прямая линия, заданная уравнением

px + qy = r1 , (6)

параллельна прямой, заданной уравнением (4).

      Замечание 3.  При любом значении   r2 прямая линия, заданная уравнением

qx + py = r2 , (7)

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4).

      Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами    (2; – 3)   и

  1. параллельной к прямой
  2. 4x + 5y = 7 ; (8)
  3. перпендикулярной к прямой (8).

      Решение.

  1. В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде

    4x + 5y = r1 , (9)

    где  r1 – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами   (2; – 3),   то справедливо равенство

    Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

          Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой

    4x + 5y = 7 ,

    задаётся уравнением

    4x + 5y = – 7 .

  2. В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде

    – 5x + 4y = r2 , (10)

    где r2 – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами   (2; – 3),   то справедливо равенство

    Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики

          Итак, прямая, перпендикулярная к прямой

    4x + 5y = 7 ,

    задаётся уравнением

    – 5x + 4y = – 22 .

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Прямые на координатной плоскости параллельные прямые перпендикулярные прямые графики индивидуальные занятия с репетиторами по математике, физике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования